未解決問題に移しました。
すぐにｄ３さんからアドバイスをいただき、解決しました。
感謝！

問１
x≠0で，x→0のとき，f(x)→1＝f(0)から，x＝0で連続です．
｛f(x)－f(0)｝/(x－0)＝（sin\(\frac{x}{x}\)－1)/x＝（sinx－x)/\(x^{2}\)
ここでx＞0でg(x)＝\(x^{3}\)+6(sinx－x)を考えます．
g’(x)＝3\(x^{2}\)+6(cosx－1)
g’’(x)＝6x－6sinx
g’’’(x)＝6－6cosx≧0
g’’(x)≧g’’(0)＝0
g’(x)≧g’(0)＝0
g(x)≧g(0)＝0
g(x)は奇関数ですので，x≠0で
│sinx－x│≦│\(x^{3}\)│
│（sinx－x)/\(x^{2}\)│≦│x│
x→0のとき，│x│→0なので，
｛f(x)－f(0)｝/(x－0)→0
微分係数は存在して，f ’(0)＝0となります．

問２
方程式　ｘのa乗＝aのｘ乗…①　の正の解は、方程式log\(\frac{x}{x}\)=log\(\frac{a}{a}\)…②
の正の解と一致することを利用して、①の正の解の個数を調べ、正数aの
値によって分類して答えよ。
答えは
（a=（0）のとき、正の解の個数は0個）、(0＜a≦1,a=eのとき、正の解の
個数は1個),(1＜a＜e,e＜aのとき、正の解の個数は2個)となるようなので
すが、お願いします。
①から②は，①の両辺の対数をとれば出てくるのでいいでしょう
f(x)＝log\(\frac{x}{x}\)(0＜x)とおきます．
f’(x)＝(1－logx)/\(x^{2}\)
したがって，x＝eで極大をとります．
また，x＜eで増加，e＜xで減少です．
さらに，x→+0のとき，f(x)→－∞で，
　　　　x→∞のとき，f(x)→+0です．
（この後半の極限は，
　4＜xで，g(x)＝\(\sqrt{\quad}\)x－logxを考えると，
　g’(x)＝(\(\sqrt{\quad}\)x－2)/2x＞0から，
0＜log\(\frac{x}{x}\)＜1/\(\sqrt{\quad}\)x で，
　ハサミウチの原理からわかります）
方程式log\(\frac{x}{x}\)=log\(\frac{a}{a}\) は，f(x)＝f(a)なので，
（グラフをかいて示せば，）
0＜a≦1,a=eのとき、正の解の個数は1個
1＜a＜e,e＜aのとき、正の解の個数は2個
となります．