問１
今日、Y軸の回りの回転体を求めるのに、
バームクーヘン分割という公式(?)を習いました。
これを知ってるとラクだから覚えろと言う事でしょうか、
でも、よく分からなかったので、詳しく解説していただけ
ないでしょうか？お願いします。
問２
①ｘ≠０に対し、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
ｃｏｓ^2ｘ＋２ｃｏｓｘ＞３－２ｘ^2
②微分可能な関数ｆ(x）がｆ(1)＝２であるとき １ \(\sqrt{\quad}\)ｘ
ｌｉｍ ―――∫ ｆ(\(t^{2}\)）ｄｔ
x→1 ｘ－１ １
の値を求めよ。
問１
ｙ軸の回りの回転体の体積を求めるとき使われるのが、通称バームクー
ヘン分割と呼ばれる公式です。
図の水色の部分を回転２πｘすると、バームクーヘンができる。
したがって、
ｂ
Ｖy＝∫ ２πｘ・ｙｄｘ
ａ
問２
①
cos2 ｘ＋２cosｘ＞３－２ｘ2 を証明するためには、
cos2 ｘ＋２cosｘ－３＞－２ｘ2 が成り立つことだから、
｛ｙ＝cos2 ｘ＋２cosｘ－３
｛ｙ＝－２ｘ2
のグラフを比べればよい。
０＜ｘ＜πのとき、赤色が青色より上にあることを言えばよい。
２つのグラフを微分して、
ｙ′＝２cosｘ（－sinｘ）＋２（－sinｘ）
＝－２sinｘ（cosｘ＋１）
ｙ′＝－４ｘ
－１≦cosｘ≦１より、cosｘ＋１≧０
sinｘ＜ｘより、sinｘ＜２ｘ
－２sinｘ＞－４ｘ
したがって、
－２sinｘ（cosｘ＋１）＞－４ｘ
赤色の接線お傾きより、青色の接線の傾きの方がマイナスで急だから
２つのグラフは必ず
cos2 ｘ＋２cosｘ－３＞－２ｘ2 となる。
②
ド・ロピタルの定理より、
\(\sqrt{\quad}\)ｘ ｄ \(\sqrt{\quad}\)ｘ
∫ ｆ（ｔ2 ）ｄｔ ── ∫ ｆ（ｔ2 ）ｄｔ
１ ｄｘ １
ｌｉｍ ─────────＝ｌｉｍ────────────
ｘ→１ ｘ－１ ｘ→１ （ｘ－１）′
ｆ（ｘ）
＝ｌｉｍ────＝ｆ（１）＝２ ……（答）
ｘ→１ １