「曲面の表面積」 - 質問＜５７４＞

質問＜５７４＞

「「曲面の表面積」」

日付２００１／７／１７

質問者ノブ

はじめまして。現在大学１年のノブです。課題で出されたレポートが
どうしても解けず、困っているので質問させていただきます。

　問、次の曲面の表面積を求めよ。
　　（１）平面：ｘ＋ｙ＋ｚ＝ａ（ａ＞０）の
　　　　　｛x≧０，y≧０，z≧０｝にある部分

　　（２）曲面：z＝xyの円柱：x＾２＋ｙ＾２≦ａ＾２　
　　　　　　の内にある部分

よろしくおねがいします。　　

お返事（武田）

日付２００１／７／２８

回答者武田

問１

表面積Ｓは領域Ｄ｛０≦ｘ≦ａ、０≦ｙ≦－ｘ＋ａ｝より、

Ｓ＝∫∫ｄｓ
　　　Ｄ

　　ａ　-x+a
　＝∫　∫　\(\sqrt{\quad}\)（１＋ｚ_x²＋ｚ_y²）ｄｘｄｙ
　　０　０

　　　ｄ（ａ－ｘ－ｙ）
ｚ_x＝――――――――＝－１
　　　　　ｄｘ

　　　ｄ（ａ－ｘ－ｙ）
ｚ_y＝――――――――＝－１
　　　　　ｄｙ

　　ａ　-x+a
Ｓ＝∫　∫　\(\sqrt{\quad}\)３　ｄｘｄｙ
　　０　０

　　ａ　　　　　　　-x+a
　＝∫ｄｘ・［\(\sqrt{\quad}\)３ｙ］
　　０　　　　　　　０

　　ａ
　＝∫　（－\(\sqrt{\quad}\)３ｘ＋\(\sqrt{\quad}\)３ａ）ｄｘ
　　０

　　　－\(\sqrt{\quad}\)３ｘ²　　　　　ａ
　＝［―――――＋\(\sqrt{\quad}\)３ａｘ］
　　　　　２　　　　　　　０

　　　\(\sqrt{\quad}\)３
　＝－――ａ²＋\(\sqrt{\quad}\)３ａ²
　　　　２

　　\(\sqrt{\quad}\)３
　＝――ａ²………（答）
　　　２

問２
未解決問題に移したところ、星野さんからアドバイスをいただきました。
感謝！！

お便り

日付２００１／９／４

回答者星野敏司

S =∫_D\(\sqrt{\quad}\)(1 + (\(z_{x}\)\()^{2}\) + (\(z_{y}\)\()^{2}\))dxdy
=∫_D\(\sqrt{\quad}\)(1 + \(x^{2}\) + \(y^{2}\))dxdy

x = r cos θ, y = r sin θ, 0 ≦ θ ≦ a
と変換

S = ∫_D \(\sqrt{\quad}\)(1 + \(r^{2}\)) r drdθ
= 2π [(\(\frac{1}{3}\))(1+\(r^{2}\))^(\(\frac{3}{2}\))]_\(0^{a}\)
= 2π((1+\(a^{2}\))^(\(\frac{3}{2}\)) -1)/3