問１
不等式6X＾2＋7X-5≦0を解くと、□≦X≦□となる。
同様に、不等式２X＾2＞5X＋12を解くと、X＜□、X＞□となる。この２つ
の不等式をともに満たすXの値の範囲は、□≦X＜□である。
問２
ａを定数とするとき、|Ｘ｜+2｜ｙ｜=2とｙ=\(\frac{1}{4}\)Ｘ＾2-ａとの交点の個数を
求めよ。
問３
2次関数ｆ(X)=ａＸ＾2－2ｂX－ａを考える。ａ、ｂは定数で、ａ＞0とする。
(1)放物線ｙ＝f(X)の頂点の座標を求めよ。
(2)f(X)が区間－1≦X≦1で最大値2、最小値－4をとるとき、
ａ、ｂの値をもとめよ。
問４
X、ｙが実数で、X＾2＋ｙ＾2＝2Xを満たす時、X＋ｙの最大値と最小値を
求めよ。
問５
(1)Xの2次方程式2k\(X^{2}\)＋2(k－1)X＋(K＋3)＝0が相異なる２つの実数解を
もつとき、実数である定数kの値の範囲を求めよ。
(2)2次方程式\(X^{2}\)＋X＋2＝0の２つの解を、α、βとするとき、
(α^2＋5α＋2)(β^2＋7β＋2)の値を求めよ。
(3)2次方程式\(X^{2}\)－(m－10)X＋m＋14＝0の異なる２つの実数解がともに負
となるようなmの値の範囲を求めよ。
問６
Ａの実数の定数として、Xの方程式
ａ\(X^{3}\)‐(ａ＋1)\(X^{2}\)－2X＋3＝0・・・①
の実数解の個数を考える。ただし、重解は1個と考える。
(1)方程式の①の左辺を因数分解せよ。
(2)ａ＝2のとき、方程式①の実数解を求めよ。
(3)方程式①実数解の個数が2個となるとき、ａの値と解を求めよ。
問７
(1)等式ab=2ａ+4ｂ-5を満たす正の整数ａ、ｂの組をすべて求めよ。
(2)\(X^{2}\)＋6ｙ^2=360を満たす正の整数X、ｙの値を求めよ。
問８
Xについての２つの2次不等式\(X^{2}\)－2X－8＜０
\(X^{2}\)＋(4－ａ)X－4ａ≧０を同時に満たす整数は、ただ1つであるという。
このとき、ａの値の範囲を求めよ。
問１
６ｘ2 ＋７ｘ－５≦０より、（２ｘ－１）（３ｘ＋５）≦０
５ １
∴－―≦ｘ≦―
３ ２
２ｘ2 ＞５ｘ＋１２
２ｘ2 －５ｘ－１２＞０より、（２ｘ＋３）（ｘ－４）＞０
３
∴ｘ＜－―，４＜ｘ
２
共通部分は
５ ３
－―≦ｘ＜－― ………（答）
３ ２
問２
｜ｘ｜＋２｜ｙ｜＝２のグラフは菱形となる。
ｘ≧０，ｙ≧０のとき、ｘ＋２ｙ＝２
ｘ≧０，ｙ＜０のとき、ｘ－２ｙ＝２
ｘ＜０，ｙ≧０のとき、－ｘ＋２ｙ＝２
ｘ＜０，ｙ＜０のとき、－ｘ－２ｙ＝２
１
ｙ＝―ｘ2 －ａとｘ－２ｙ＝２の接点Ａのときのａを求めると、
４
４ｙ＝ｘ2 －４ａ
＝（２ｙ＋２）2 －４ａ
４ｙ2 ＋８ｙ＋４－４ｙ－４ａ＝０
４ｙ2 ＋４ｙ＋４－４ａ＝０
ｙ2 ＋ｙ＋（１－ａ）＝０
判別式Ｄ＝０より、
Ｄ＝１－４（１－ａ）＝０
１－４＋４ａ＝０
４ａ＝３
３
∴ａ＝―
４
１
ｙ＝―ｘ2 －ａのｙ切片－ａを上から下にずらしながら
４
交点の数を数えていくと、
｛－ａ＞１のとき、ａ＜－１では、交点は０個
｛－ａ＝１のとき、ａ＝－１では、交点は１個
｛ ３ ３
｛１＞－ａ＞－―のとき、―＞ａ＞－１では、交点は２個
｛ ４ ４
｛
｛ ３ ３
｛－ａ＝－―のとき、ａ＝―では、交点は４個
｛ ４ ４
｛
｛ ３ ３
｛－―＞－ａ＞－１のとき、―＜ａ＜１では、交点は６個
｛ ４ ４
｛
｛－ａ＝－１のとき、ａ＝１では、交点は３個
｛－ａ＜－１のとき、ａ＞１では、交点は０個 ………（答）
問３
ｆ（ｘ）＝ａｘ2 －２ｂｘ－ａ（ただし、ａ＞０）
平方完成すると、
ｂ ａ2 ＋ｂ2
ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－―）2 －―――――
ａ ａ
頂点のｘ座標が次の４つの場合に最大値・最小値の取り方が変わるから、
ｂ
―≦－１のとき、最小値ｆ（－１）＝－４、最大値ｆ（１）＝２
ａ となるａ，ｂは存在しない。
ｂ ｂ
－１＜―≦０のとき、最小値ｆ（―）＝－４、最大値ｆ（１）＝２
ａ ａ
となるａ＝２\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)３、ｂ＝－１
ａ＋ｂ＞０より、ａ＝２＋\(\sqrt{\quad}\)３、ｂ＝－１
ｂ ｂ
０＜―≦１のとき、最小値ｆ（―）＝－４、最大値ｆ（－１）＝２
ａ ａ
となるａ＝２\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)３、ｂ＝１
ａ－ｂ≧０より、ａ＝２＋\(\sqrt{\quad}\)３、ｂ＝１
ｂ
１＜―のとき、最小値ｆ（１）＝－４、最大値ｆ（－１）＝２
ａ となるａ，ｂは存在しない。
したがって、
（ａ，ｂ）＝（２＋\(\sqrt{\quad}\)３，\(\pm\)１）………（答）
問４
ｘ2 ＋ｙ2 ＝２ｘ
（ｘ－１）2 ＋ｙ2 ＝１
ｘ＋ｙ＝ｋとおくと、
ｙ＝－ｘ＋ｋ
ｋが最大・最小になるのは、直線と円が接するときだから、
（ｘ－１）2 ＋（－ｘ＋ｋ）2 ＝１
２ｘ2 －２（１＋ｋ）ｘ＋ｋ2 ＝０
判別式Ｄ＝０より、
Ｄ／４＝（１＋ｋ）2 －２ｋ2 ＝０
ｋ2 －２ｋ－１＝０
ｋ＝１\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)２
したがって、
最大値はｋ＝１＋\(\sqrt{\quad}\)２
最小値はｋ＝１－\(\sqrt{\quad}\)２………（答）
問５
（１）２ｋｘ2 ＋２（ｋ－１）ｘ＋（ｋ＋３）＝０
が異なる実数解を持つには、判別式Ｄ＞０より、
Ｄ／４＝（ｋ－１）2 －２ｋ（ｋ＋３）＞０
ｋ2 ＋８ｋ－１＜０
ｋ＝－４\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)１７より、
－４－\(\sqrt{\quad}\)１７＜ｋ＜－４＋\(\sqrt{\quad}\)１７………（答）
（２）ｘ2 ＋ｘ＋２＝０の解をα、βとすると、
α2 ＋α＋２＝０より、
α2 ＋５α＋２＝（α2 ＋α＋２）＋４α＝４α
β2 ＋β＋２＝０より、
β2 ＋７β＋２＝（β2 ＋β＋２）＋６β＝６β
したがって、
与式＝（α2 ＋５α＋２）（β2 ＋７β＋２）
＝４α・６β＝２４αβ
解と係数の関係より、
αβ＝２
したがって、
与式＝２４・２＝４８………（答）
（３）ｘ2 －（ｍ－１０）ｘ＋（ｍ＋１４）＝０が異なる実数解を持つから
判別式Ｄ＞０より
Ｄ＝（ｍ－１０）2 －４（ｍ＋１４）＞０
ｍ2 －２４ｍ＋４４＞０
（ｍ－２２）（ｍ－２）＞０
ｍ＜２，２２＜ｍ
２解がともに負より、α＋β＜０、αβ＞０
解と係数の関係より、
ｍ－１０＜０∴ｍ＜１０
ｍ＋１４＞０∴ｍ＞－１４
したがって、
－１４＜ｍ＜２………（答）
問６
ａｘ3 －（ａ＋１）ｘ2 －２ｘ＋３＝０
（１）組み立て除法より、
ａ －（ａ＋１） －２ ３ ｜１
ａ －１ －３ ￣
―――――――――――――――――
ａ －１ －３｜ ０
（ｘ－１）（ａｘ2 －ｘ－３）＝０………（答）
（２）ａ＝２のとき、
（ｘ－１）（２ｘ2 －ｘ－３）＝０
（ｘ－１）（２ｘ－３）（ｘ＋１）＝０
３
∴ｘ＝１，―，－１………（答）
２
（３）解が２個となるのは、片一方が重解の時だから、
ｘ＝１が重解の時、ａｘ2 －ｘ－３＝０に代入すると、
ａ－１－３＝０∴ａ＝４
４ｘ2 －ｘ－３＝０
（４ｘ＋３）（ｘ－１）＝０
３
∴ｘ＝－―，１
４
したがって、
３
ａ＝４のとき、ｘ＝１（重解），ｘ＝－―………（答）
４
ｘ＝１でない方が重解の時、ａｘ2 －ｘ－３＝０が平方式となるから
１ １
ａｘ2 －ｘ－３＝ａ（ｘ－――）2 －――－３
２ａ ４ａ
１ １
－――－３＝０より、ａ＝－――
４ａ １２
１
－――ｘ2 －ｘ－３＝０
１２
ｘ2 ＋１２ｘ＋３６＝０
（ｘ＋６）2 ＝０
∴ｘ＝－６（重解）
したがって、
１
ａ＝－――のとき、ｘ＝１，ｘ＝－６（重解）………（答）
１２
問７
（１）ａｂ＝２ａ＋４ｂ－５
（ａ－４）ｂ＝２ａ－５
２ａ－５ ３
ｂ＝――――＝２＋―――
ａ－４ ａ－４
ｂが整数となるから、分母の（ａ－４）は\(\pm\)１または\(\pm\)３の場合のみ。
ａ－４＝１のとき、ａ＝５、ｂ＝５
ａ－４＝－１のとき、ａ＝３、ｂ＝－１←これは不適（∵正の整数）
ａ－４＝３のとき、ａ＝７、ｂ＝３
ａ－４＝－３のとき、ａ＝１、ｂ＝１
したがって、
（ａ，ｂ）＝（５，５）、（７，３）、（１，１）………（答）
（２）ｘ2 ＋６ｙ2 ＝３６０
ｘ2 ＝３６０－６ｙ2
＝６（６０－ｙ2 ）
ｘ2 は６の倍数で平方数だから
６2 ＝６（６０－ｙ2 ）より、
６＝６０－ｙ2
ｙ2 ＝５４←平方数ではない
１２2 ＝６（６０－ｙ2 ）
２４＝６０－ｙ2
ｙ2 ＝３６
∴ｙ＝６
１８2 ＝６（６０－ｙ2 ）
５４＝６０－ｙ2
ｙ2 ＝６←平方数ではない
したがって、
（ｘ、ｙ）＝（１２，６）………（答）
問８
ｘ2 －２ｘ－８＜０
（ｘ－４）（ｘ＋２）＜０
∴－２＜ｘ＜４
ｘ2 ＋（４－ａ）ｘ－４ａ≧０
（ｘ＋４）（ｘ－ａ）≧０
－４≦ａのとき、ｘ≦－４，ａ≦ｘ
ａ≦－４のとき、ｘ≦ａ，－４≦ｘ
整数が唯１つ答えの範囲にはいるのは、ａの範囲が次の時である。
２＜ａ≦３………（答）