学校の先生にも聞いたのですが、
なんか、説明が、わかったような
わからないようなで、あやふやになって、よけい
わからなくなってしまいました。
(問題)
x[2乗]+1 で割ると 3x+2 余り、
x[2乗]+x+1 で割ると 2x+3 余るような
xの整式のうちで、次数が最小のものを求めよ。
(解答)
整式をP(x)とし、4次式(x[2乗]+1)(x[2乗]+x+1)で割ったときの商をQ(x),
余りをR(x)とすると
P(x)=(x[2乗]+1)(x[2乗]+x+1)Q(x)+R(x)
R(x)は3次以下または0
P(x)を x[2乗]+1, x[2乗]+x+1 で割ったときの余りは
それぞれR(x)を x[2乗]+1, x[2乗]+x+1 で割ったとき
の余りに等しいから、求める次数が最小の整式は
このR(x)である。
R(x)を x[2乗]+1 で割った時の商は1次式以下の式で
R(x)=(X[2乗]+1)(ax+b)+3x+2
R(x)=(x[2乗]+X+1)(ax+c)+2x+3
と書ける
よって (X[2乗]+1)(ax+b)+3x+2=(x[2乗]+X+1)(ax+c)+2x+3・・・(a)
これはxについての恒等式である。
両辺を展開して、整理すると
ax[3乗]+bx[2乗]+(a+3)x+b+2=ax[3乗]+(a+c)x[2乗]+(a+c+2)x+c+3
係数を比べて b=a+c, a+3=a+c+2, b+2=c+3
これを解くと a=1, b=2, c=1
ゆえに R(x)=(x[2乗]+1)(x+2)+3x+2=x[3乗]+2x[2乗]+4x+4
となる。
(青チャートP49の例題27から抜粋）
と解答には、書いてあるのですが、なぜ、R(x)の次数が
最小になるのか解りません。
教えていただければ、幸いなので、よろしくお願いします。