未解決問題に移します。Ｔ．Ｋさんとｄ３さんからアドバイスを
いただきました。感謝！！

ぱっとみただけなのでなんとも言えません。
これから考えてみますが思いついたものを書きます
(1)平均値の定理の利用。lim[x->0]f(x)=f(0) を示せばよい(?)
(2) f(x) = (\(x^{2}\))*{x*sin(\(\frac{1}{x}\)) + sin(x)/x}
と書くと 0＜|x|＜1 のとき {...}>0 であることがわかる。

こんな感じのものを使うのではないでしょうか。。

(1)f(x)はx=0で微分可能である事を示し、f'(0)を求めよ。
微分可能を示すには，
x＝0で連続だということ（x→\(\pm\)0のとき，f(x)\(\vec{f}\)(0)）をまずいいます．
次に，x→\(\pm\)0ときの（f(x)－f(0)）/xの極限が存在し等しいことをいいます．
まず，
│sinΘ│≦1なので，
x≠0のとき，
│\(x^{3}\)sin\(\frac{1}{x}\) + xsinx│≦│\(x^{3}\)sin\(\frac{1}{x}\)│ +│ xsinx│≦│\(x^{3}\)│+│ x│
これから，x→\(\pm\)0のとき，f(x)→0（＝f(0)）．
したがって，連続性はいえました．
x≠0のとき，
（f(x)－f(0)）/x＝\(x^{2}\)sin\(\frac{1}{x}\) + sinx
│（f(x)－f(0)）/x│≦│\(x^{2}\)sin\(\frac{1}{x}\) + sinx│≦│\(x^{2}\)│+│sinx │
これから，x→\(\pm\)0のとき，│（f(x)－f(0)）/x│→0．
したがって，x＝0で，微分可能です．f’(0)は存在して，0です．

(2)f(x)はx=0で極小値をもつことを示せ。
x=0で極小値もつことがいえるためには何がいえれば
いいんですか？
それは，f’(x)がx＝0で，符号を－から＋に符号を変える，
ということを示せばいいです．
ですが，ちょっとやってみましたが，
問題がもっと難しくなってしまいました．
方針を変更して，
0＜xで，f(－x)＝f(x)（偶関数）なので，
0＜x＜1のとき，f(x)＞０を示します．
f(x)＝\(x^{3}\)sin\(\frac{1}{x}\) + xsinx＝\(x^{2}\)(xsin\(\frac{1}{x}\) + sin\(\frac{x}{x}\)）
g(x)：＝sin\(\frac{x}{x}\)とおくと，
xsin\(\frac{1}{x}\) + sin\(\frac{x}{x}\)＝g(\(\frac{1}{x}\))+g(x)です．

ここで，y＝sinx上の点(t,sint)と原点を結んだ直線の傾きは，
g(t)となりますが，（y＝sinxのグラフをかいて考えてください）
0＜t≦1＜π/2で，g(t)は減少します．g(t)≧g(1)＝sin1，
1≦tで，グラフから明らかに，│g(t)│≦g(1)．
よって，0＜x＜1のとき，1＜\(\frac{1}{x}\)なので，
g(\(\frac{1}{x}\))+g(x)≧g(x)－│g(\(\frac{1}{x}\))│＞0．
よって，0＜│x│＜1のとき，f(x)＞０．
f(x)は，│x│＜1で連続で，
x≠0のとき，f(x)＞０，
f(0)＝0なので，x=0で極小値もつことがいえます．
(2)は，たぶん他にいい解答があると思いますが，
いまは，コレですみません．