質問

f(x) = { x^3sin1/x + xsinx    (x=/=0)
       { 0                    (x=0)
で与えられているとき、
(1)f(x)はx=0で微分可能である事を示し、f'(0)を求めよ。
(2)f(x)はx=0で極小値をもつことを示せ。

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とゆう問題があったのですが、まず(1)で、微分可能を示すにはこの
場合どうすればいいのですか。教えてください。
次に(2)で、x=0で極小値もつことがいえるためには何がいえれば
いいんですか？
結構がんばってはみたんですが・・・おねがいします！

お返事２００１／８／９
from=武田

未解決問題に移します。Ｔ．Ｋさんとｄ３さんからアドバイスを
いただきました。感謝！！

お便り２００１／８／１１
from=Ｔ．Ｋ

ぱっとみただけなのでなんとも言えません。
これから考えてみますが思いついたものを書きます
(1)平均値の定理の利用。lim[x->0]f(x)=f(0) を示せばよい(?)
(2) f(x) = (x^2)*{x*sin(1/x) + sin(x)/x} 
と書くと 0＜|x|＜1 のとき {...}>0 であることがわかる。 

こんな感じのものを使うのではないでしょうか。。

お便り２００１／８／１１
from=ｄ３

(1)f(x)はx=0で微分可能である事を示し、f'(0)を求めよ。
微分可能を示すには，
x＝0で連続だということ（x→±0のとき，f(x)→f(0)）をまずいいます．
次に，x→±0ときの（f(x)－f(0)）/xの極限が存在し等しいことをいいます．
まず，
│sinΘ│≦1なので，
x≠0のとき，
│x^3sin1/x + xsinx│≦│x^3sin1/x│ +│ xsinx│≦│x^3│+│ x│
これから，x→±0のとき，f(x)→0（＝f(0)）．
したがって，連続性はいえました．
x≠0のとき，
（f(x)－f(0)）/x＝x^2sin1/x + sinx
│（f(x)－f(0)）/x│≦│x^2sin1/x + sinx│≦│x^2│+│sinx │
これから，x→±0のとき，│（f(x)－f(0)）/x│→0．
したがって，x＝0で，微分可能です．f’(0)は存在して，0です．

(2)f(x)はx=0で極小値をもつことを示せ。
x=0で極小値もつことがいえるためには何がいえれば
いいんですか？
それは，f’(x)がx＝0で，符号を－から＋に符号を変える，
ということを示せばいいです．
ですが，ちょっとやってみましたが，
問題がもっと難しくなってしまいました．
方針を変更して，
0＜xで，f(－x)＝f(x)（偶関数）なので，
0＜x＜1のとき，f(x)＞０を示します．
f(x)＝x^3sin1/x + xsinx＝x^2(xsin1/x + sinx/x）
g(x)：＝sinx/xとおくと，
xsin1/x + sinx/x＝g(1/x)+g(x)です．

ここで，y＝sinx上の点(t,sint)と原点を結んだ直線の傾きは，
g(t)となりますが，（y＝sinxのグラフをかいて考えてください）
0＜t≦1＜π/2で，g(t)は減少します．g(t)≧g(1)＝sin1，
1≦tで，グラフから明らかに，│g(t)│≦g(1)．
よって，0＜x＜1のとき，1＜1/xなので，
g(1/x)+g(x)≧g(x)－│g(1/x)│＞0．
よって，0＜│x│＜1のとき，f(x)＞０．
f(x)は，│x│＜1で連続で，
x≠0のとき，f(x)＞０，
f(0)＝0なので，x=0で極小値もつことがいえます．
(2)は，たぶん他にいい解答があると思いますが，
いまは，コレですみません．