問１
ｚ＝ｘ＋ｙｉとすると、

１　　１　　　ｘ－ｙｉ
―＝――――＝―――――
ｚ　ｘ＋ｙｉ　ｘ² ＋ｙ²

　　１　　　　　　　　　　　ｙ
ｚ＋―が実数だから、ｙ－―――――＝０より、
　　ｚ　　　　　　　　　ｘ² ＋ｙ²

∴ｘ² ＋ｙ² ＝１

｜ｚ｜＝\(\sqrt{\quad}\)（ｘ² ＋ｙ² ）＝\(\sqrt{\quad}\)１＝１
∴ａ＝１………（答）

問２
｜ｚ｜＝ａ＝１は、半径１の円上の複素数ｚだから、
ｗ＝（ｚ＋\(\sqrt{\quad}\)２＋\(\sqrt{\quad}\)２ｉ）⁴
目盛りを\(\pm\)１００の範囲で、ｗの描くグラフを書くと、
次のようになった。



しかし、これからｗの絶対値と偏角の範囲はどうしたものか？

※未解決問題に移した瞬間に、ｄ３さんからアドバイスが届きました。
感謝！！

3年10組12番さん「複素数平面」の解答です．

(1)
z＝r(cosΘ+ｉsinΘ)　（r＞0）とします．
ｚ+\(\frac{１}{z}\)の虚数部分＝(r－\(\frac{1}{r}\))sinΘ
ここで，ｚが虚数なので，sinΘ≠0から，r－\(\frac{1}{r}\)＝0．
よって，r＞0から，r＝1，すなわち，│z│の値a＝1．
（z＝0は明らかに条件を満たしません）
(2)
ここで，│z│＝1は，原点中心，半径1の円です．
z＋\(\sqrt{\quad}\)2＋\(\sqrt{\quad}\)2ｉ＝vは，
この円上の点zを平行移動（\(\sqrt{\quad}\)2＋\(\sqrt{\quad}\)2ｉを加える）した点で，
│v－（\(\sqrt{\quad}\)2＋\(\sqrt{\quad}\)2ｉ）│＝1を表します．
この円の中心（\(\sqrt{\quad}\)2＋\(\sqrt{\quad}\)2ｉ）と原点との距離は2，
半径は1ですので，また（\(\sqrt{\quad}\)2＋\(\sqrt{\quad}\)2ｉ）の偏角が45度なので，
15度≦arg(v)≦75度，1≦│v│≦3　
（平面上に点と円をかくとわかりやすいです．）
ｗ＝(z＋\(\sqrt{\quad}\)2＋\(\sqrt{\quad}\)2ｉ\()^{4}\)の絶対値と偏角の動く範囲は，　
60度≦arg(w)≦300度，1≦│w│≦81
となります．