問１
等差数列ａ_n ＝２＋（ｎ－１）３＝３ｎ－１
等差数列ｂ_n ＝３＋（ｎ－１）４＝４ｎ－１
共通な等差数列ｃ_n ＝１１＋（ｎ－１）１２＝１２ｎ－１

ａ_n が１０００項あるので、最後の数は
ａ₁₀₀₀＝３・１０００－１＝２９９９
４ｎ－１＝２９９９とおくと、ｎ＝７５０より、
２９９９は共通な数
１２ｎ－１＝２９９９より、ｎ＝２５０
共通な数列の初項１１から第２５０番目２９９９までの和は
　　２５０（１１＋２９９９）
Ｓ＝――――――――――――＝３７６２５０………（答）
　　　　　　　２

問２
　　　１
Ｓ_n ＝―ｎ（４ｎ² －６ｎ－１）より、
　　　６
（１）
ａ_n ＝Ｓ_n －Ｓ_n-1

　　　１
　　＝―｛（４ｎ³ －６ｎ² －ｎ）－（４ｎ³ －１８ｎ² ＋２３ｎ－９）｝
　　　６

　　　１
　　＝―（１２ｎ² －２４ｎ＋９）
　　　６

　　　１
　　＝―（４ｎ² －８ｎ＋３）
　　　２

　　　１
　　＝―（２ｎ－１）（２ｎ－３）
　　　２

（２）
ｎ　１　ｎ　　　　　２
Σ――＝Σ――――――――――――
　ａ_i 　　（２ｉ－１）（２ｉ－３）

　　　　ｎ　　　１　　　　１
　　　＝Σ｛――――－――――｝
　　　　　　２ｉ－３　２ｉ－１

　　　　　　１　１　　　１　１　　　　　　　　１　　１
　　　＝（――－―）＋（―－―）＋………＋（――－――）
　　　　　－１　１　　　１　３　　　　　　　2n-3　2n-1

　　　　　　　　　１　　－２ｎ＋１－１　　　２ｎ
　　　＝－１－――――＝――――――――＝――――………（答）
　　　　　　　２ｎ－１　　２ｎ－１　　　　１－２ｎ

問３
（１）
漸化式ａ_n+1＝２ａ_n ＋１のａ_n の係数が１以外の時は、指数関数系だから
ａ_n+1＋ｋ＝２（ａ_n ＋ｋ）とおいて、ｋを求めると、
ａ_n+1＝２ａ_n ＋２ｋ－ｋ
∴ｋ＝１
ａ_n+1＋１＝２（ａ_n ＋１）と変形できる。
ａ_n+1＋１＝２（ａ_n ＋１）
　　　　　　＝２・２（ａ_n-1＋１）
　　　　　　＝………
　　　　　　＝２ⁿ （ａ₁ ＋１）
　　　　　　＝２ⁿ （３＋１）（∵ａ₁ ＝３より）
　　　　　　＝２ⁿ⁺²
したがって、
ａ_n ＋１＝２ⁿ⁺¹
∴ａ_n ＝２ⁿ⁺¹－１………（答）

（２）
漸化式ａ_n+1－ａ_n ＝ｎ＋３を変形して、
ａ_n+1＝ａ_n ＋ｎ＋３のａ_n の係数が１の時は、整関数系だから
ａ_n+1＝ａ_n ＋ｎ＋３
　　　＝｛ａ_n-1＋（ｎ－１）＋３｝＋ｎ＋３
　　　＝………
　　　＝｛ａ₁ ＋（１）＋３｝＋｛２＋………＋（ｎ－１）＋ｎ｝＋３（ｎ－１）
　　　＝２＋（１＋………＋ｎ）＋３ｎ（∵ａ₁ ＝２より）

　　　　　　ｎ（１＋ｎ）　　　　４＋ｎ＋ｎ² ＋６ｎ
　　　＝２＋――――――＋３ｎ＝―――――――――
　　　　　　　　２　　　　　　　　　　２

　　　　ｎ² ＋７ｎ＋４
　　　＝―――――――
　　　　　　　２

したがって、
　　　（ｎ－１）² ＋７（ｎ－１）＋４
ａ_n ＝―――――――――――――――
　　　　　　　　　２

　　　ｎ² ＋５ｎ－２
　　＝―――――――………（答）
　　　　　　２

問４
　　　　２
（ｘ² ＋―＋１）⁶ の展開したときの係数は、
　　　　ｘ
二項定理の発展編の多項定理より、
　　　　　　　　　　　　　ｎ！
（ｘ＋ｙ＋ｚ）ⁿ ＝Σ――――――――ｘ^aｙ^bｚ^c
　　　　　　　　　　　ａ！ｂ！ｃ！
ただし、ａ＋ｂ＋ｃ＝ｎ

ｘを含まない項だから、
（ｘ² ）^a（２／ｘ）^b（１）^cより、
２ａ＋（－ｂ）＝０となるａ，ｂを探して、ただし、ａ＋ｂ＋ｃ＝６
ａ　　　　ｂ　　　　ｃ
０　　　　０　　　　６
１　　　　２　　　　３
２　　　　４　　　　０

したがって、
　６！　　　　　　６！　　　２　　　　　　６！　　　　２
――――(1)⁶ ＋――――(x² )(―)² (1)³ ＋――――(x² )² (―)⁴
0！0！6！　　　1！2！3！　　ｘ　　　　　2！4！0！　　ｘ

　　　　　　　　４　　　　　　　１６
＝１＋６０ｘ² ・――＋１５ｘ⁴ ・――
　　　　　　　　ｘ² 　　　　　　ｘ⁴


＝１＋２４０＋２４０＝４８１………（答）

問５
未解決問題に移しました。kyukusuさんから下にアドバイスをいただきました。

（１）
等差数列ａn ＝２＋（ｎ－１）３＝３ｎ－１
等差数列ｂn ＝３＋（ｎ－１）４＝４ｎ－１
共通な等差数列ｃn ＝１１＋（ｎ－１）１２＝１２ｎ－１

どのようにして共通な等差数列ｃn ＝１１＋（ｎ－１）１２＝１２ｎ－１
をだしたんですか？

（２）
ｎ　１　ｎ　　　　　２
Σ――＝Σ――――――――――――
　ａi 　　（２ｉ－１）（２ｉ－３）

　　　　ｎ　　１　　　　１
　　　＝Σ｛――――－――――｝　どうしてこのようになるんですか？
　　　　　　２ｉ－３　２ｉ－１

　　　　　　１　１　　　１　１　　　　　　　１　　１
　　　＝（――－―）＋（―－―）＋………＋（――－――）
　　　　　－１　１　　　１　３　　　　　　　2n-3　2n-1

　　　　　　　　　　　　※この2n-3はどうやったら消えるんですか？　

　　　　　　　　　１　　－２ｎ＋１－１　　　２ｎ
　　　＝－１－――――＝――――――――＝――――………（答）
　　　　　　　２ｎ－１　　　２ｎ－１　　　１－２ｎ

（１）
等差数列ａn ：２，５，８，１１，１４，１７，２０，２３，２６，………
　　　　　　　２＋（ｎ－１）３＝３ｎ－１等差数列ｂn ：３，７，１１，１５，１９，２３，２７，………
　　　　　　　３＋（ｎ－１）４＝４ｎ－１
共通な等差数列ｃn ：１１，２３，………
　　　　　　　　　　１１＋（ｎ－１）１２＝１２ｎ－１

※具体的に書いて行って見つけました。

（２）
部分分数分解という方法を使います。
分数式の分母が因数分解の形になっていて、複数の分数式に分けるときに
使います。慣れてくると、勘で分かるようになります。
　　　　　１　　　　　　ａ　　　ｂ
――――――――――＝―――－―――
（ｘ－１）（ｘ＋１）　ｘ－１　ｘ＋１

　　　　　　　　　　　ａｘ＋ａ－ｂｘ＋ｂ
　　　　　　　　　　＝――――――――――
　　　　　　　　　　　（ｘ－１）（ｘ＋１）

　　　　　　　　　　　（ａ－ｂ）ｘ＋（ａ＋ｂ）
　　　　　　　　　　＝――――――――――――
　　　　　　　　　　　（ｘ－１）（ｘ＋１）

左辺の分子と見比べて、係数比較をすると、
｛ａ－ｂ＝０
｛ａ＋ｂ＝１
したがって、
　　１　　　１
ａ＝―、ｂ＝―
　　２　　　２

　　　　　　　　　　　　１　　　１
　　　　　　　　　　　　―　　　―
　　　　　１　　　　　　２　　　２
――――――――――＝―――－―――
（ｘ－１）（ｘ＋１）　ｘ－１　ｘ＋１
とすることができる。

引き算だと随時消していくことができる。
例えば、
（１－２）＋（２－３）＋（３－４）＋………
………＋｛（ｎ－２）－（ｎ－１）｝＋｛（ｎ－１）－ｎ｝
＝１－ｎ
となる。
つまり途中の計算はプラスマイナスで消えてしまうわけだ。

問３（２）
bn=an+1-an=n+3
としてn≧2で階差数列でan=a1+Σbk(k=1～n-1)でやった方が簡単では？

問５
　長くなりますので簡潔に。
△AkBkCkと△Ak+1Bk+1Ck+1についてそれぞれ面積をSk,Sk+1とする。
Sk+1=Sk-(△AkAk+1Ck+1+△BkBk+1Ak+1+△CkCk+1Bk+1)
=Sk-3α(1-α)Sk=Sk((1-3α(1-α))
　Sk=S1*(1-3α(1-α)\()^{n}\)-1=((1-3α(1-α)\()^{n}\)*S0
=(3(α-\(\frac{1}{2}\)\()^{2}\)+\(\frac{1}{4}\)\()^{n}\)*S0
よってTk=Skmin=(\(\frac{1}{4}\)\()^{n}\)*S0
っていうのでどうでしょう。
図があれば少しはわかりやすいんですが・・・