問1
二つの2次方程式x2+ax+3a=0,x2-ax+a2-1=0について
(1) 少なくとも一方が解を持ちような定数ａの値の範囲を求めよ。
(2)ともに解を持たないような定数ａの値の範囲を求めよ。
問２
関数ｆ(x)=ax2-4x+a-3(ａは定数）が次の条件を満たすようなａの値の
範囲を、それぞれ求めよ。
(1)すべての数ｘに対してf(x)は常に正の値をとる。
(2)f(x)はあるｘの値に対して正の値をとる。
(3)f(x)は正の値も負の値もとる。
問１
（１）
｛ｘ2 ＋ａｘ＋３ａ＝０………①
｛ｘ2 －ａｘ＋ａ2 －１＝０………②
解を持つのは、判別式Ｄ≧０のときだから、
①より、解を持つのは、
Ｄ＝ａ2 －１２ａ≧０
ａ（ａ－１２）≧０
∴ａ≦０，１２≦ａ
②より、解を持つのは、
Ｄ＝ａ2 －４（ａ2 －１）≧０
３ａ2 －４≦０
（\(\sqrt{\quad}\)３ａ＋２）（\(\sqrt{\quad}\)３ａ－２）≦０
２ ２
∴－――≦ａ≦――
\(\sqrt{\quad}\)３ \(\sqrt{\quad}\)３
少なくとも一方が解を持つのは、（①がもつ）または（②がもつ）の
和集合となるから、
２
∴ａ≦―― ，１２≦ａ………（答）
\(\sqrt{\quad}\)３
（２）
ともに解を持たないのは、（１）の逆だから、補集合より、
２
∴――＜ａ＜１２………（答）
\(\sqrt{\quad}\)３
問２
（１）
ｆ（ｘ）＝ａｘ2 －４ｘ＋ａ－３において、
すべてのｘの値に対して、ｆ（ｘ）が常に正とは、次のようなグラフの
時である。
これは、下に凸より、ａ＞０
ｘ軸と交点がないから、判別式Ｄ＜０より、
Ｄ／４＝４－ａ（ａ－３）＜０
ａ2 －３ａ－４＞０
（ａ－４）（ａ＋１）＞０
∴ａ＜－１，４＜ａ
したがって、
４＜ａ………（答）
（２）
あるｘの値に対して、ｆ（ｘ）が正とは、次のようなグラフの時である。
これは、上に凸より、ａ＜０
ｘ軸と２つの交点があるから、判別式Ｄ＞０より、
Ｄ／４＝４－ａ（ａ－３）＞０
ａ2 －３ａ－４＜０
（ａ－４）（ａ＋１）＜０
∴－１＜ａ＜４
したがって、
－１＜ａ＜０………（答）
（３）
ｆ（ｘ）が正も負もとるのは、次のようなグラフの時である。
ｘ軸と２つの交点があるから、判別式Ｄ＞０より、
Ｄ／４＝４－ａ（ａ－３）＞０
ａ2 －３ａ－４＜０
（ａ－４）（ａ＋１）＜０
∴－１＜ａ＜４
したがって、
－１＜ａ＜４………（答）