（１）
　　　ｅ　（logｘ）¹
ａ₁ ＝∫　――――――ｄｘ
　　　１　　ｘ²

　　　　　１　　　　ｅ　　ｅ　　　１　　　１
　　＝［－―・logｘ］　－∫　（－――）・――ｄｘ
　　　　　ｘ　　　　１　　１　　　ｘ　　　ｘ

　　　　１　　　１　ｅ
　　＝－―＋［－―　］
　　　　ｅ　　　ｘ　１

　　　　　２
　　＝１－―　………（答）
　　　　　ｅ

（２）
　　　　　ｅ　（logｘ）ⁿ⁺¹
ａ_n+1 ＝∫　　――――――ｄｘ
　　　　　１　　ｘ²

　　　　　　１　　　　　　　　ｅ　　ｅ　　　１　　　　　　　　　　１
　　　＝［－―・（logｘ）ⁿ⁺¹ ］　－∫　（－――）(n+1)(logｘ)ⁿ ・――ｄｘ
　　　　　　ｘ　　　　　　　　１　　１　　　ｘ　　　　　　　　　　ｘ

　　　　　１
　　　＝－―＋（ｎ＋１）・ａ_n ………（答）
　　　　　ｅ

（３）（４）
※未解決問題に移したところ、星野さんからアドバイスをいただきました。
感謝！！

(3) x = \(e^{t}\) と置くと
\(a_{n}\) = ∫_\(0^{1}\) \(t^{n}\) e^(-t)dt.

0 ＜ t ≦ 1 で \(t^{n}\) e^(-t) ＞ 0 より \(a_{n}\) ＞ 0.
0 ＜ t ＜ 1 で t^(n+1) ＜ \(t^{n}\) より a_(n+1) ＜ \(a_{n}\).


(4) [数学的帰納法]
n = 2:
e(1 - \(\frac{1}{e}\) - \(a_{2}\)/2)
= e - 1 - (\(\frac{e}{2}\))\(a_{2}\)
= e - 1 - (\(\frac{e}{2}\))(-\(\frac{1}{e}\) + 2\(a_{1}\))
= e - 1 + \(\frac{1}{2}\) - e\(a_{1}\)
= e - 1 + \(\frac{1}{2}\) - e(1 - \(\frac{2}{e}\))
= e - 1 + \(\frac{1}{2}\) - e + 2
= 1 + \(\frac{1}{2}\) = \(S_{2}\).

e(1 - \(\frac{1}{e}\) - a_(n+1)/(n+1)!)
=e(1 - \(\frac{1}{e}\) - (-\(\frac{1}{e}\) + (n+1)\(a_{n}\))/(n+1)!)
=e(1 - \(\frac{1}{e}\) + 1/(e(n+1)!) - \(a_{n}\)/n!)
=e(1 - \(\frac{1}{e}\) - \(a_{n}\)/n!) + 1/(n+1)!
=\(S_{n}\) + 1/(n+1)!
=S_(n+1).

さて, (3) で最初に書いた定積分に Cauchy-Schwarz の不等式を適用して

\(a_{n}\) = ∫_\(0^{1}\) \(t^{n}\) e^(-t)dt
≦ \(\sqrt{\quad}\)(∫_\(0^{1}\) t^(2n)dt ∫_\(0^{1}\) e^(-2t)dt)
= \(\sqrt{\quad}\)(((1-e^(-2))/(2(2n+1)))→0 as n → ∞.
従って

\(S_{n}\) = e(1 - \(\frac{1}{e}\) - \(a_{n}\)/n!)\(\vec{e}\)(1-\(\frac{1}{e}\)) = e - 1
as n→∞.