複素数平面上で、複素数αは２点 1 + i と
1 - i とを結ぶ線分上を動き、複素数β
は原点を中心とする半径１の円周上を動くものとする。
（1）α + β が複素数平面上を動く範囲の面積は、
□ + □π である。
（2）αβ が複素数平面上を動く範囲の面積は、□πである。
（3）α^2 が複素数平面上で描く曲線と虚軸で
囲まれた範囲の面積は □ である。
□内をもとめよ。
（１）
α＝１＋ｋｉ（－１≦ｋ≦１）
β＝cosθ＋ｉsinθ（０≦θ＜２π）
とすると、
α＋β＝（１＋cosθ）＋ｉ（ｋ＋sinθ）
これがどのような図を描くかは、実部をｘ、虚部をｙとおいて、
｛ｘ＝１＋cosθ
｛ｙ＝ｋ＋sinθ
変形して、
｛（ｘ－１）＝cosθ
｛（ｙ－ｋ）＝sinθ
２乗して足すと、
（ｘ－１）2 ＋（ｙ－ｋ）2 ＝cos2 θ＋sin2 θ＝１
－１≦ｋ≦１の範囲でｋを変化させ図を描くと、
図より、面積は
２×２＋π（１）2 ＝４＋π………（答）
（２）
αβ＝（１＋ｋｉ）（cosθ＋ｉsinθ）
＝（cosθ－ｋsinθ）＋ｉ（ｋcosθ＋sinθ）
｛ｘ＝cosθ－ｋsinθ
｛ｙ＝ｋcosθ＋sinθ
２乗して、
｛ｘ2 ＝cos2 θ－２ｋsinθcosθ＋ｋ2 sin2 θ
｛ｙ2 ＝ｋ2 cos2 θ＋２ｋsinθcosθ＋sin2 θ
足すと、
ｘ2 ＋ｙ2 ＝（１＋ｋ2 ）cos2 θ＋（１＋ｋ2 ）sin2 θ
＝（１＋ｋ2 ）（cos2 θ+sin2 θ）
＝（１＋ｋ2 ）・１
＝１＋ｋ2
－１≦ｋ≦１の範囲でｋを変化させ図を描くと、
図より、面積は
π（\(\sqrt{\quad}\)２）2 －π（１）2 ＝２π－π＝π………（答）
（３）
α2 ＝（１＋ｋｉ）2
＝（１－ｋ2 ）＋２ｋｉ
｛ｘ＝１－ｋ2
｛ｙ＝２ｋ
１
ｋ＝―ｙを代入して、
２
１
ｘ＝１－（―ｙ）2
２
－１≦ｋ≦１より、－２≦ｙ≦２
図を書くと、横に寝た放物線だから、
１
ｘ＝－―ｙ2 ＋１
４
虚軸で囲まれた部分の面積は、積分で、
２ １
∫ （－―ｙ2 ＋１）ｄｙ
－２ ４
１ ２
＝［－――ｙ3 ＋ｙ］
１２ －２
８ ８
＝－――＋２－（――－２）
１２ １２
１６ ３２ ８
＝４－――＝――＝―………（答）
１２ １２ ３