問１
領域Ｄは
ｘ² ＋ｙ² ≦ｘより、
（ｘ² －ｘ）＋ｙ² ≦０
　　　１　　　　　　１
（ｘ－―）² ＋ｙ² ≦―
　　　２　　　　　　４

　　　１　　　　　１
中心（―，０）半径―の円内部がＤとなる。
　　　２　　　　　２

したがって、
∫∫_D\(\sqrt{\quad}\)ｘｄｘｄｙ

　　１　\(\sqrt{\quad}\)（ｘ－ｘ² ）
＝∫　∫　　\(\sqrt{\quad}\)ｘ　ｄｘｄｙ
　　０　－\(\sqrt{\quad}\)（ｘ－ｘ² ）

　　１　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)（ｘ－ｘ² ）
＝∫　\(\sqrt{\quad}\)ｘｄｘ・∫　１ｄｙ
　　０　　　　　　－\(\sqrt{\quad}\)（ｘ－ｘ² ）

　　１
＝∫　\(\sqrt{\quad}\)ｘｄｘ・｛\(\sqrt{\quad}\)（ｘ－ｘ² ）＋\(\sqrt{\quad}\)（ｘ－ｘ² ）｝
　　０

　　１
＝∫　２ｘ・\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ）ｄｘ＝与式Ｐ
　　０

ｘ＝sin² θとおくと、
ｄｘ＝２sinθ・cosθｄθ
\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ）＝cosθ
ｘ｜０―→１
―――――――
θ｜０―→π/2

　　　π/2
Ｐ＝∫　　２sin² θ・cosθ・２sinθ・cosθｄθ
　　　０

　　　π/2
　＝∫　　４sin³ θ・cos² θｄθ
　　　０

　　　　　π/2
　＝－４∫　（cos² θ－cos⁴ θ）ｄcosθ
　　　　　０

　　　　　cos³ θ　　cos⁵ θ　　π/2
　＝－４［――――－――――　］
　　　　　　３　　　　　５　　　０

　　　　　　０　０　　　１　１
　＝－４｛（―－―）－（―－―）｝
　　　　　　３　５　　　３　５

　　　　　　　　２　　　８
　＝－４・（－――）＝――………（答）
　　　　　　　１５　　１５

※極座標に変換して、
　　１　　　π/4
４∫　　　∫　　\(\sqrt{\quad}\)（ｒcosθ）・ｒ・ｄｒｄθ
　　1/\(\sqrt{\quad}\)２　０　　　　　　　　^↑^
　　　　　　　　　　　　　　　極座標に変換するときは
　　　　　　　　　　　　　　　関数行列式（ヤコビアン）
　　　　　　　　　　　　　　　より、｜Ｊ｜＝ｒをつける。

しかし、\(\sqrt{\quad}\)cosθの積分ができず、頓挫してしまった。

問２
（１）（２）

※未解決問題に移したところ、星野さんからアドバイスをいただきました。
感謝！！

問 2
補題
∫_0^∞ e^(-\(x^{2}\)) dx = (\(\sqrt{\quad}\)π)/2

証明:
D = {(x, y)| x ≧ 0, y ≧ 0},
D_R = {{(x, y)| \(x^{2}\) + \(y^{2}\) ≦ \(R^{2}\), x ≧ 0, y ≧ 0}
と置く。R→∞ の時 D_R\(\vec{D}\).

先ず ∫_D_R e^(-\(x^{2}\)-\(y^{2}\)) dxdy で x = r cosθ, y = r sinθ と置くと,
∫_D_R e^(-\(x^{2}\)-\(y^{2}\)) dxdy
= ∫_D_R e^(-\(r^{2}\)) rdrdθ
= (π/2)[-e^(\(r^{2}\))/2]_0^R
= (π/4)(1-e^(-\(R^{2}\)))→π/4 as R→∞.
よって
∫_D e^(-\(x^{2}\)-\(y^{2}\)) dxdy = π/4.
一方
左辺 = ∫_D e^(-\(x^{2}\)) e^(-\(y^{2}\)) dx dy
= (∫_0^∞ e^(-\(x^{2}\))dx)(∫_0^∞ e^(-\(y^{2}\))dy)
= (∫_0^∞ e^(-\(x^{2}\))dx\()^{2}\).
従って言えた。

① 与式 = ∫_(-∞)^∞ e^(-(x+2\()^{2}\) + 4) dx
= \(e^{4}\) ∫_(-∞)^∞ e^(-(x+2\()^{2}\)) dx
= \(e^{4}\) ∫_(-∞)^∞ e^(-\(x^{2}\)) dx … 平行移動
= 2 \(e^{4}\) ∫_0^∞ e^(-\(x^{2}\)) dx … 対称性
= \(e^{4}\) \(\sqrt{\quad}\)π.

② 与式 = ∫_0^∞ \(x^{2}\) e^(-\(x^{2}\)) dx
= ∫_0^∞ x d(-e^(-\(x^{2}\))/2)
= [-x e^(-\(x^{2}\))/2]_0^∞ + (\(\frac{1}{2}\))∫_0^∞ e^(-\(x^{2}\)) dx
= (\(\sqrt{\quad}\)π)/4.