こんにちは。ぷりんです。夏休みの遊びすぎで実力テストが４０点前後に
なりました(;_;)大変大変！ではでは質問させてください。
①ｘｙ平面上に原点０と点Ｐ（ａ，ｂ），点Ｑ（ｘ，ｙ）の３点をとる。またベクトル
ｐはベクトルＯＰでベクトルｑはベクトルＯＱとする。
（１）｜ベクトルｐ｜＝１となる点Ｐを第一象限に１つ固定するとき，
ベクトルｐとベクトルｑの内積が１以下になる点Ｑの存在する範囲を
図示せよ。
（２）｜ベクトルｐ｜＝１となる全ての点Ｐに対して
ベクトルｐとベクトルｑの内積が１以下になる点Ｑの存在する範囲を
図示せよ。
②数列｛Ａ（ｎ）｝についてＡ（1）＝１，Ａ（ｎ+1）＝ルート【２＋Ａ（ｎ）】『ｎは
自然数』が成り立つとする。
（１）すべてのｎについて０＜Ａ（ｎ）＜２が成り立つことを，ｎに関する
数学的帰納法で示せ。
（２）Ａ（ｎ）＝２ｃｏｓθ（ｎ）『ｎは自然数』とおくとき，θ（1）を求め，
θ（ｎ+1）をθ（ｎ）を用いて表せ。ただし０°＜θ（ｎ）＜９０°『ｎは自然数』
とする。
（３）一般項Ａ（ｎ）を求めよ。
よろしくおねがいします。
問１
（１）
→ →
ｐ＝（ａ，ｂ）、ｑ＝（ｘ，ｙ）とすると、
内積が１以下より、
→ →
（ｐ，ｑ）＝ａｘ＋ｂｙ≦１………①
①より、
ａｘ＋ｂｙ＝１は、原点が中心、半径１の円の円周上の点Ｐ（ａ，ｂ）における
接線の方程式だから
点Ｑの存在範囲は、図のようになる。
（２）
→
点Ｐが｜ｐ｜＝１となるすべての点をとるとき、内積が１以下となるのは、
ｂ＞０において、接線より下部
ｂ＜０において、接線より上部
ｂ＝０のとき
ａ＞０において、接線より左側
ａ＜０において、接線より右側
以上のすべての共通部分が点Ｑの存在範囲だから
図のようになる。
問２
（１）
ａ1＝１
ａn+1＝\(\sqrt{\quad}\)（２＋ａn）
（ｎは自然数）
「すべてのｎについて、０＜ａn＜２が成り立つ」ことを
数学的帰納法で証明すると、
（ｉ）ｎ＝１のとき、ａ1＝１より、０＜ａ1＜２
（ⅱ）ｎ＝ｋのとき、０＜ａk＜２が成り立つと仮定して、
ｎ＝ｋ＋１のとき、
ａk＞０より、２＋ａk＞０
ａk+1＝\(\sqrt{\quad}\)（２＋ａk）＞０
ａk+1を２乗して、
（ａk+1）2＝２＋ａk＜２＋２＝４
ａk+1＞０より、
ａk+1＜\(\sqrt{\quad}\)４＝２
∴０＜ａk+1＜２
したがって、（i）（ⅱ）より、すべてのｎについて、与式が成り立つ。
（２）
ａn＝２cosθnとおくと、
ａ1＝２cosθ1＝１
０°＜θn＜９０°より、
１ π
cosθ1＝――より、θ1＝―― ………（答）
２ ３
ａn+1＝\(\sqrt{\quad}\)（２＋ａn）より、
２cosθn+1＝\(\sqrt{\quad}\)（２＋２cosθn）
２乗して
４cos2θn+1＝２＋２cosθn
２cos2θn+1－１＝（１＋cosθn）－１
cos２θn+1＝cosθn
２θn+1＝θn
１
∴θn+1＝―θn ………（答）
２
（３）
１
∴θn+1＝―θn
２
１
＝（―）n・θ1
２
π １
＝―・（―）n
３ ２
したがって、
ａn＝２cosθn
π １
＝２cos｛――・（――）n-1｝ ………（答）
３ ２