＜1＞X+1/X=3の時 X－1/X＝□
\(X^{4}\)－1/\(X^{4}\)＝□
＜2＞Cを実数とする。
Xの整式A＝\(X^{4}\)－(C－2)\(X^{3}\)－(3C－1)\(X^{2}\)＋(2\(C^{2}\)＋5C＋8)X＋\(C^{2}\)＋2C＋2を
Xの整式B＝\(X^{2}\)－CX＋1で割った時の余りをｐX＋ｑとすれば、
ｐ＝\(C^{2}\)＋□C＋□、ｑ＝\(C^{2}\)＋□C＋□である。とくに
C=□の時、AはBで割り切れる
＜3＞放物線ｙ＝ｘ^2－ｘ＋3を平行移動したもので、原点を通り、
頂点が直線ｙ＝2ｘ－3上にある
＜4＞次の点または直線に関して、
放物線ｙ＝－2ｘ^2＋3ｘ－1と対称な放物線の方程式を求めよ
(1)原点
(2)点(0、－1)
(3)直線ｙ＝－1
＜5＞放物線ｙ＝ｘ^2－ａｘ－2ａ＋3とｘ軸が2点で交わりその交点の
ｘ座標が0と1および1と2の間にあるとき、定数ａの値の範囲を求めよ
問１
１
ｘ＋―＝３より、
ｘ
２乗して、
１
ｘ2 ＋２＋――＝９
ｘ2
１
ｘ2 ＋――＝７
ｘ2
１
ｘ－―＝ｋとおいて、２乗すると、
ｘ
１
ｘ2 －２＋――＝ｋ2
ｘ2
１
ｘ2 ＋――＝ｋ2 ＋２
ｘ2
したがって、
ｋ2 ＋２＝７
ｋ2 ＝５
ｋ＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)５………（答）
１ １ １
ｘ4 －――＝（ｘ2 ＋――）（ｘ2 －――）
ｘ4 ｘ2 ｘ2
１ １ １
＝（ｘ2 ＋――）（ｘ＋―）（ｘ－―）
ｘ2 ｘ ｘ
＝７・３・（\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)５）
＝\(\pm\)２１\(\sqrt{\quad}\)５………（答）
問２
Ａ＝ｘ4 －（ｃ－２）ｘ3 －（３ｃ－１）ｘ2 ＋（２ｃ2 ＋５ｃ＋８）ｘ＋ｃ2 ＋２ｃ＋２
Ｂ＝ｘ2 －ｃｘ＋１
Ａ÷Ｂ＝Ｑ…ｐｘ＋ｑ
実際に縦書きの割り算をしてみると、
商Ｑ＝ｘ2 ＋２ｘ－ｃ
余りｐｘ＋ｑ＝（ｃ2 ＋５ｃ＋６）ｘ＋ｃ2 ＋３ｃ＋２
となった。
したがって、
｛ｐ＝ｃ2 ＋５ｃ＋６
｛ｑ＝ｃ2 ＋３ｃ＋２………（答）
割り切れるためには、ｐ＝０かつｑ＝０だから、
｛ｃ2 ＋５ｃ＋６＝０
｛ｃ2 ＋３ｃ＋２＝０
したがって、
｛（ｃ＋２）（ｃ＋３）＝０
｛（ｃ＋１）（ｃ＋２）＝０
ｃ＝－２，－３かつｃ＝－１，－２だから
∴ｃ＝－２………（答）
問３
ｙ＝ｘ2 －ｘ＋３
１ １１
＝（ｘ－―）2 ＋――
２ ４
左右にａ、上下にｂ平行移動すると、
１ １１ｙ＝（ｘ－―＋ａ）2 ＋――＋ｂ
２ ４
原点を通るから、ｘ＝０，ｙ＝０を代入して、
ｂ＝－３＋ａ－ａ2 ………①
頂点が、直線ｙ＝２ｘ－３上にあるから、
１ １１
ｘ＝―－ａ，ｙ＝――＋ｂを代入して、
２ ４
１９
ｂ＝－２ａ－――………②
４
①と②より、
１９
－３＋ａ－ａ2 ＝－２ａ－――
４
４ａ2 －１２ａ－７＝０
（２ａ－７）（２ａ＋１）＝０
７ １
ａ＝―，－―
２ ２
②に代入して、
７ ４７
ａ＝―のとき、ｂ＝－――
２ ４
したがって、
１ ７ １１ ４７
ｙ＝（ｘ－―＋―）2 ＋――－――
２ ２ ４ ４
＝（ｘ＋３）2 －９
＝ｘ2 ＋６ｘ＋９－９
＝ｘ2 ＋６ｘ………（答）
１ １５
ａ＝－―のとき、ｂ＝－――
２ ４
したがって、
１ １ １１ １５
ｙ＝（ｘ－―－―）2 ＋――－――
２ ２ ４ ４
＝（ｘ－１）2 －１
＝ｘ2 －２ｘ＋１－１
＝ｘ2 －２ｘ………（答）
問４
ｙ＝ｆ（ｘ）＝－２ｘ2 ＋３ｘ－１とおくと、
原点に関して対称なのは、－ｙ＝ｆ（－ｘ）となるから
－ｙ＝－２（－ｘ）2 ＋３（－ｘ）－１
－ｙ＝－２ｘ2 －３ｘ－１
∴ｙ＝２ｘ2 ＋３ｘ＋１………（答）
点（０，－１）に関して対称なのは、－２－ｙ＝ｆ（－ｘ）
ｙ＋ｂ
∵―――＝－１より、ｙ＋ｂ＝－２、ｂ＝－２－ｙ
２
－２－ｙ＝－２（－ｘ）2 ＋３（－ｘ）－１
－ｙ＝－２ｘ2 －３ｘ－１＋２
ｙ＝２ｘ2 ＋３ｘ－１………（答）
直線ｙ＝－１に関して対称なのは、－２－ｙ＝ｆ（ｘ）
－２－ｙ＝－２ｘ2 ＋３ｘ－１
－ｙ＝－２ｘ2 ＋３ｘ－１＋２
ｙ＝２ｘ2 －３ｘ－１………（答）
問５
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ2 －ａｘ－２ａ＋３とおくと、
ｆ（０）＝－２ａ＋３＞０より、
３
ａ＜―
２
ｆ（１）＝１－ａ－２ａ＋３＜０
－３ａ＋４＜０
４
ａ＞―
３
ｆ（２）＝４－２ａ－２ａ＋３＞０
－４ａ＋７＞０
７
ａ＜―
４
したがって、
４ ３
―＜ａ＜― ………（答）
３ ２