①
t＝αのときの接線が直線x＋y＝1と考えます．
a(sinα\()^{4}\)＋2(cosα\()^{4}\)＝1
d\(\frac{y}{d}\)x＝(d\(\frac{y}{d}\)t)/(d\(\frac{x}{d}\)t)＝－2(cost\()^{2}\)/{a(sint\()^{2}\)}
t＝αのとき，－1なので，
2(cosα\()^{2}\)＝a(sinα\()^{2}\)
この２式から，aを消去して，(cosα\()^{2}\)＝\(\frac{1}{2}\)．
さらに，(sinα\()^{2}\)＝\(\frac{1}{2}\)．よって，a＝2となります．
ここで，tを消去して，\(\sqrt{\quad}\)x＋\(\sqrt{\quad}\)ｙ＝\(\sqrt{\quad}\)2
すなわち，ｙ＝(\(\sqrt{\quad}\)2－\(\sqrt{\quad}\)x\()^{2}\)．これはx＋y＝1より上方にあります．
接点は，（\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{2}\)）です．
　∫from0to\(\frac{1}{2}\)，［(\(\sqrt{\quad}\)2－\(\sqrt{\quad}\)ｙ\()^{2}\)－(1－ｙ)］dy
＝［y－4\(\sqrt{\quad}\)(2y)\(\frac{y}{3}\)＋\(y^{2}\)］from0to\(\frac{1}{2}\)
＝\(\frac{1}{12}\)
となります．

②
(logx)’＝\(\frac{1}{x}\)から，平均値の定理から，
x＜c＜x＋1で，
{log(1＋x)－logx}/{(1＋x)－x}＝\(\frac{1}{c}\)から，
上は成り立つ．
上の式で，xのところに\(e^{x}\)を代入して，
{1/(1＋\(e^{x}\))}＜{log(1＋\(e^{x}\))－log\(e^{x}\)}＜1/\(e^{x}\)
{x＋1/(1＋\(e^{x}\))}＜log(1＋\(e^{x}\))＜x＋1/\(e^{x}\)　
証明された．
この式を(0\(\vec{a}\))で積分して，
{1/(\(a^{2}\))}∫(0\(\vec{a}\)){x＋1/(1＋\(e^{x}\))}dx
＞{1/(\(a^{2}\))}∫(0\(\vec{a}\))xdx＝\(\frac{1}{2}\)，　
{1/(\(a^{2}\))}∫(0\(\vec{a}\)){x＋1/\(e^{x}\)}dx
＜{1/(\(a^{2}\))}∫(0\(\vec{a}\))(x＋1)dx＝\(\frac{1}{2}\)＋\(\frac{1}{a}\)→\(\frac{1}{2}\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(a→∞)
よって，∫(0\(\vec{a}\))log(1＋\(e^{x}\))dx→\(\frac{1}{2}\)　(a→∞)

①(1)
x + y = a si\(n^{4}\) t + 2 co\(s^{4}\) t = 1. [a]
且つこの t で
d\(\frac{y}{d}\)x = (4a si\(n^{3}\) t cos t)/(-8 co\(s^{3}\) t sin t)
= - (a si\(n^{2}\) t)/(2 co\(s^{2}\) t) = -1 (x + y = 1 の傾き)
即ち
a si\(n^{2}\) t = 2 co\(s^{2}\) t. [b]
これを [a] に代入
2co\(s^{2}\) t si\(n^{2}\) t + 2 co\(s^{4}\) t = 1.
2 co\(s^{2}\) t (1 - co\(s^{2}\) t) + 2 co\(s^{4}\) t = 1
2 co\(s^{2}\) t = 1.
cos t = \(\pm\)1/\(\sqrt{\quad}\)2.
0 ≦t≦π/2 より t = π/4.
[b] に代入して a = 2.

(2)
∫_(π/4\()^{0}\) 2 co\(s^{4}\) t d(2 si\(n^{4}\) t) - \(\frac{1}{8}\)
= 4∫_(π/4\()^{0}\) co\(s^{4}\) t (-8 co\(s^{3}\) t sin t) dt - \(\frac{1}{8}\)
= 32∫_0^(π/4) co\(s^{7}\) t sin t dt - \(\frac{1}{8}\)
= -32∫_0^(π/4) co\(s^{7}\) t d cos t - \(\frac{1}{8}\)
= -4 [co\(s^{8}\) t]_0^(π/4) - \(\frac{1}{8}\)
= -4 (co\(s^{8}\) (π/4) - co\(s^{8}\) 0) - \(\frac{1}{8}\)
= -4 (\(\frac{1}{16}\) - 1) - \(\frac{1}{8}\)
= 4× \(\frac{15}{16}\) - \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{30}{8}\) - \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{29}{8}\).


②(1) y = \(\frac{1}{t}\) のグラフを描けば x＜ t ＜ 1 + x なる限りにおいて
1/(1 + x) ＜ \(\frac{1}{t}\) ＜ \(\frac{1}{x}\)
従ってこれらを x から 1 + x まで (t で) 定積分すれば
1/(1 + x) ＜ log(1+x) - log x ＜ \(\frac{1}{x}\).

(2) (1) に於いて, 特に x に \(e^{x}\) を代入すると
1/(1 + \(e^{x}\)) ＜ log(1 + \(e^{x}\)) - x ＜ 1/\(e^{x}\).
辺々に x を加えればよい。

(3) x > 0 の時 0 ＜ 1/(1 + \(e^{x}\)) は明らかだから (2) より
x ＜ log(1 + \(e^{x}\)) ＜ x + e^(-x).
∫_\(0^{a}\) x dx ＜ ∫_\(0^{a}\) log(1 + \(e^{x}\)) dx ＜ ∫_\(0^{a}\) (x + e^(-x)) dx (\(a^{2}\))/2
＜ ∫_\(0^{a}\) log(1 + \(e^{x}\)) dx ＜ (\(a^{2}\))/2 - e^(-a) + 1.
従って
\(\frac{1}{2}\) ＜ (1/\(a^{2}\))∫_\(0^{a}\) log(1 + \(e^{x}\)) dx ＜ \(\frac{1}{2}\) - 1/(\(a^{2}\) \(e^{a}\)) + 1/\(a^{2}\).
ここで a → +∞ とすると
\(\frac{1}{2}\) ≦ lim_(a→∞) (1/\(a^{2}\))∫_\(0^{a}\) log(1 + \(e^{x}\)) dx ≦ \(\frac{1}{2}\).
従って
lim_(a→∞) (1/\(a^{2}\))∫_\(0^{a}\) log(1 + \(e^{x}\)) dx = \(\frac{1}{2}\).

問１
ｘ＋ｙ＝１より、
ｙ＝－ｘ＋１
傾き－１

ｄｘ
――＝４ａ（sinｔ）³ cosｔ
ｄｔ

ｄｙ
――＝８（cosｔ）³ （－sinｔ）
ｄｔ

したがって、
ｄｙ　－８（cosｔ）³ sinｔ
――＝――――――――――
ｄｘ　４ａ（sinｔ）³ cosｔ

　　　－２（cosｔ）²
　　＝――――――――＝－１
　　　ａ（sinｔ）²

ａsin² ｔ＝２cos² ｔ

※ここから先が進めない。誰かアドバイスを！
ｄ３さんとHoshinoさんからメールでアドバイスをいただいておりました。
感謝！！感謝！！

問２
（１）
ｆ（ｘ）＝ｌｏｇｘ

　　　　　　１
ｆ´（ｘ）＝―
　　　　　　ｘ

平均値の定理より、
ｌｏｇ（１＋ｘ）－ｌｏｇｘ　　　　　　　１
―――――――――――――＝ｆ´（ｃ）＝―
　　（１＋ｘ）－ｘ　　　　　　　　　　　ｃ

ただし、ｘ＜ｃ＜１＋ｘ

ｘ＜ｃ＜１＋ｘより、逆数を考えて、

１　１　　１
―＞―＞―――
ｘ　ｃ　１＋ｘ

したがって、
　１　　　　　　　　　　　　　　　　１
―――＜ｌｏｇ（１＋ｘ）－ｌｏｇｘ＜―　………（答）
１＋ｘ　　　　　　　　　　　　　　　ｘ

（２）
ｘ＞０のとき

　１　　　　　　　　　　　　　　　　１
―――＜ｌｏｇ（１＋ｘ）－ｌｏｇｘ＜―　が成り立つから
１＋ｘ　　　　　　　　　　　　　　　ｘ

ｘをｅ^x と置き換えると、
　１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１
――――＜ｌｏｇ（１＋ｅ^x ）－ｌｏｇｅ^x ＜――
１＋ｅ^x 　　　　　　　　　　　　　　　　　ｅ^x

　１　　　　　　　　　　　　　　　１
――――＜ｌｏｇ（１＋ｅ^x ）－ｘ＜――
１＋ｅ^x 　　　　　　　　　　　　　ｅ^x

したがって、
　　　１　　　　　　　　　　　　　　　１
ｘ＋――――＜ｌｏｇ（１＋ｅ^x ）＜ｘ＋――　………（答）
　　１＋ｅ^x 　　　　　　　　　　　　　ｅ^x

（３）
　　　　１　　a　　　　　１
ｌｉｍ　――∫　（ｘ＋―――――）ｄｘ
ａ→∞　ａ² 　0　　　　１＋ｅ^x

　　　　　１　　ｘ² 　　　－ｅ^x 　　　　a
＝ｌｉｍ　――［――＋――――――――］
　ａ→∞　ａ² 　２　　（１＋ｅ^x ）² 　　0

　　　　　１　　ａ² 　　　ｅ^a 　　　　　１
＝ｌｉｍ　――（――－―――――――＋―）
　ａ→∞　ａ² 　２　　（１＋ｅ^a ）² 　　４

　　　　　　１　　　　ｅ^a 　　　　　　１　　　１　　　　　１
＝ｌｉｍ　（―－―――――――――＋―――）＝―－０＋０＝―
　ａ→∞　　２　ａ² （１＋ｅ^a ）² 　　４ａ² 　　２　　　　　２

同様に
　　　　１　　a　　　　１
ｌｉｍ　――∫　（ｘ＋――）ｄｘ
ａ→∞　ａ² 　0　　　　ｅ^x

　　　　　１　　ｘ² 　　　－ｅ^x 　a
＝ｌｉｍ　――［――＋―――――］
　ａ→∞　ａ² 　　２　　（ｅ^x ）² 0

　　　　　１　　ｘ² 　　１　a
＝ｌｉｍ　――［――－――］
　ａ→∞　ａ² 　　２　ｅ^x 　0

　　　　　１　　ａ² 　　１
＝ｌｉｍ　――（――－――＋１）
　ａ→∞　ａ² 　　２　　ｅ^a

　　　　　　１　　１　　　１　　　１　　　　　１
＝ｌｉｍ　（―－――――＋――）＝―－０＋０＝―
　ａ→∞　　２　ａ² ｅ^a 　　ａ² 　　２　　　　　２

（２）の左辺と右辺に極限をつけたものが共に１／２となるから、
その中辺に極限をつけたものも１／２となる。
　　　　１　　a　　　　　　　　　　　　　１
ｌｉｍ　――∫　ｌｏｇ（１＋ｅ^x ）ｄｘ＝――　………（答）
ａ→∞　ａ² 　0　　　　　　　　　　　　　２