ｅ^iθ＝cosθ＋ｉsinθ
＋）ｅ^-iθ＝cosθ－ｉsinθ
――――――――――――――――
　ｅ^iθ＋ｅ^-iθ＝２cosθ
同様にして、
　ｅ^i2θ＋ｅ^-i2θ＝２cos２θ
　ｅ^i3θ＋ｅ^-i3θ＝２cos３θ
　　　　………　　　　………
　ｅ^inθ＋ｅ^-inθ＝２cosｎθ
すべてを加えて、
　（ｅ^iθ＋………＋ｅ^inθ）＋（ｅ^-iθ＋………＋ｅ^-inθ）＝２（cosθ＋………cosｎθ）
左辺を計算して、
　　　ｅ^iθ（ｅ^inθ－１）　　ｅ^-iθ（ｅ^-inθ－１）
左辺＝――――――――　＋　――――――――
　　　　　ｅ^iθ－１　　　　　　ｅ^-iθ－１　

　　　ｅ^iθ（ｅ^inθ－１）　　（ｅ^-inθ－１）
　　＝――――――――　＋　――――――
　　　　　ｅ^iθ－１　　　　　　１－ｅ^iθ

　　　ｅ^i(n+1)θ－ｅ^iθ－ｅ^-inθ＋１
　　＝―――――――――――――
　　　　　ｅ^iθ－１

　　　ｅ^i(n+1)θ－ｅ^-inθ－（ｅ^iθ－１）
　　＝――――――――――――――
　　　　　ｅ^iθ－１

　　　ｅ^i(n+1)θ－ｅ^-inθ
　　＝――――――――－１
　　　　　ｅ^iθ－１

左側の分子＝ｅ^i(n+1)θ－ｅ^-inθ
　　　　　＝｛cos(n+1)θ＋ｉsin(n+1)θ｝－｛cosｎθ－ｉsinｎθ｝
　　　　　＝｛cos(n+1)θ－cosｎθ｝＋ｉ｛sin(n+1)θ＋sinｎθ｝

　　　　　　　　　　2n+1　　　　　θ　　　　　　　2n+1　　　　　θ
　　　　　＝－２sin―――θ・sin―――＋ｉ・２sin―――θ・cos―――
　　　　　　　　　　２　　　　　　２　　　　　　　　２　　　　　２

　　　　　　　　　2n+1　　　　　　θ　　　　　　θ
　　　　　＝２sin―――θ（－sin――　＋　ｉcos――　）
　　　　　　　　　　２　　　　　　２　　　　　　２


左側の分母＝ｅ^iθ－１
　　　　　＝（cosθ＋ｉsinθ）－１
　　　　　＝（cosθ－１）＋ｉsinθ

　　　　　　　　　　　　　θ　　　　　　　　　　θ　　　θ
　　　　　＝（１－２sin² ――－１）＋ｉ・２sin――・cos――
　　　　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　２　　　２

　　　　　　　　　θ　　　　　θ　　　　θ
　　　　　＝２sin――（－sin――＋ｉcos――　）
　　　　　　　　　２　　　　　２　　　　２

したがって、
　　　　　　　　　　　　　　2n+1
　　　　　　　　　　　２sin―――θ
　　　左側の分子　　　　　　　２
左辺＝―――――－１＝―――――――－１
　　　左側の分母　　　　　　　θ
　　　　　　　　　　　　２sin――
　　　　　　　　　　　　　　　２

　　　　　2n+1　　　　　θ
　　　sin―――θ－sin―――
　　　　　　２　　　　　２
　　＝―――――――――――
　　　　　　　　　θ
　　　　　　　sin――
　　　　　　　　　２

　　　　　　n+1　　　　ｎ
　　　２cos――θ・sin――θ
　　　　　　２　　　　　２
　　＝―――――――――――
　　　　　　　　　θ
　　　　　　　sin――
　　　　　　　　　２

したがって、右辺の２を移項して、

Ｓｎ＝cosθ＋cos２θ＋………＋cosｎθ

　　　　　　n+1　　　　ｎ
　　　　cos――θ・sin――θ
　　　　　　２　　　　　２
　　＝―――――――――――　………（答）
　　　　　　　　　θ
　　　　　　　sin――
　　　　　　　　　２