点(2n+2，0)までくるには，
　　点(2n，0)から，∧（上がって下がる）とくるのと，
　　点(2n，2)から，＼（下がって下がる）とくるのがあります．
点(2n+2，2)までくるには，
　　点(2n，2)から，∧，∨とくるのと，
　　点(2n，0)から，／とくるのがあります．
よって，
a[n+1]＝a[n]＋b[n]
b[n+1]＝a[n]＋2b[n]
ここで，｛a[n]｝は，1，2，5，・・・
｛b[n]｝は，1，3，8，・・・です．
a[n+1]－tb[n+1]＝s｛a[n]－tb[n]｝として，
上の漸化式から，
｛s－(1－t)｝a[n]＝｛(１－2t)＋st｝b[n]
これが，n＝1,2,3で成り立つには，
s－(1－t)＝(１－2t)＋st＝0
逆にこのとき，すべての自然数nでなりたつので，
問題のように等比数列になります．
\(t^{2}\)＋t－1＝0を解いて，
t＝(－1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)5)/2となります．コレをα，β（α＜β）とすると，
s＝1－t＝\(t^{2}\)で，α＋β＝αβ＝－1を使って，
a[n+1]－αb[n+1]＝α^2｛a[n]－αb[n]｝から，
a[n]－αb[n]＝α^(2n－2)｛a[1]－αb[1]｝＝(1－α)α^(2n－2)＝α^(2n)
a[n+1]－βb[n+1]＝β^2｛a[n]－βb[n]｝から同様に，
a[n]－βb[n]＝β^(2n－2)｛a[1]－βb[1]｝＝(1－β)β^(2n－2)＝β^(2n)
したがって，
a[n]＝｛β^(2n－1)－α^(2n－1)｝/(β－α)
b[n]＝｛α^(2n)－β^(2n)｝/(β－α)
a[n]/b[n]＝｛β^(4n－1)－α^(2n－1)｝/｛α^(2n)－β^(2n)｝　
分子分母にβ^(2n)をかけて，αβ＝－1を使って，0＜β＜1なので，
n→∞のとき，
a[n]/b[n]＝｛β^(2n－1)－1/α｝/｛1－β^(4n)｝→－1/α＝β
たぶん大丈夫だと思います．

(1)
a_(n+1) = \(a_{n}\) + \(b_{n}\),
b_(n+1) = \(a_{n}\) + 2\(b_{n}\).

(2)
a_(n+1) - tb_(n+1)
= \(a_{n}\) + \(b_{n}\) -t(\(a_{n}\) + 2\(b_{n}\))
= (1 - t)\(a_{n}\) + (1 - 2t)\(b_{n}\)
= (1-t)(\(a_{n}\) + ((1-2t)/(1-t))\(b_{n}\))
より
t = -(1-2t)/(1-t).
t(1-t) = 2t - 1.
\(t^{2}\) + t - 1 = 0.
解の公式から
t = (-1\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)5)/2.

(3) α, βを各々上の t の複号が + の方と - の方とする。
\(a_{1}\) = \(b_{1}\) = 1 より
a_(n+1) - αb_(n+1) = (1-α)(\(a_{n}\) + α\(b_{n}\))
\(a_{n}\) - α\(b_{n}\)
= (1-α)^(n-1)(\(a_{1}\) + α\(b_{1}\))
= (1 + α)(1 - α)^(n-1).
同様に
\(a_{n}\) - β\(b_{n}\) = (1 + β)(1 - β)^(n-1).

辺々引くと
(α-β)\(b_{n}\) = (1 + β)(1 - β)^(n-1) - (1 + α)(1 - α)^(n-1).
例えば\(a_{n}\) - β\(b_{n}\) = (1 + β)(1 - β)^(n-1) に代入して
(α-β)\(a_{n}\) = α(1 + β)(1 - β)^(n-1) - β(1 + α)(1 - α)^(n-1).

(4) \(a_{n}\)/\(b_{n}\)
= [α(1 + β)(1 - β)^(n-1) - β(1 + α)(1 - α)^(n-1)]
/[(1 + β)(1 - β)^(n-1) - (1 + α)(1 - α)^(n-1)]

明らかに 1 - β > 1 - α > 0 より
\(a_{n}\)/\(b_{n}\)
= [α(1 + β) - β(1 + α)((1 - α)/(1 - β))^(n-1)]
/ [(1 + β) - (1 + α)((1 - α)/(1 - β))^(n-1)]
→ α(1 + β)/(1 + β) = α = (-1+\(\sqrt{\quad}\)5)/2.

問１

図より、
｛ａ_n+1 ＝ａ_n ＋ｂ_n
｛
｛ｂ_n+1 ＝ａ_n ＋２・ｂ_n ………（答）

問２
等比数列だから
ａ_n －ｔｂ_n ＝ｋ（ａ_n-1 －ｔｂ_n-1 ）
とおくと、上の問１より、
左辺＝（ａ_n-1 ＋ｂ_n-1 ）－ｔ（ａ_n-1 ＋２・ｂ_n-1 ）
　　＝（１－ｔ）ａ_n-1 ＋（１－２ｔ）ｂ_n-1
右辺＝ｋａ_n-1 －ｋｔｂ_n-1
したがって、
｛１－ｔ＝ｋ
｛１－２ｔ＝－ｋｔ
１－２ｔ＝－（１－ｔ）ｔ
ｔ² ＋ｔ－１＝０

　　　－１\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)５
∴ｔ＝―――――　………（答）
　　　　　２

問３
｛ａ₁ ＝１
｛ｂ₁ ＝１

｛ａ_n+1 ＝ａ_n ＋ｂ_n
｛
｛ｂ_n+1 ＝ａ_n ＋２・ｂ_n

（ａ_n+1 ）　（１　１）　（ａ_n ）
（　　 ）＝（　　　）・（　 ）
（ｂ_n+1 ）　（１　２）　（ｂ_n ）

　　　　　　（１　１）ⁿ （ａ₁ ）
　　　　　＝（　　　）・（　 ）
　　　　　　（１　２）　（ｂ₁ ）

　　　　　　（１　１）ⁿ （１）
　　　　　＝（　　　）・（　）
　　　　　　（１　２）　（１）

したがって、
（ａ_n ）　（１　１）^n-1 （１）
（　 ）＝（　　　）・　（　）
（ｂ_n ）　（１　２）　　（１）

　　（１　１）
Ａ＝（　　　）とおいて、固有値λを求めると、
　　（１　２）

　　　　　（１－λ　　１　）
Ａ－λＥ＝（　　　　　　　）
　　　　　（１　　　２－λ）

｜Ａ－λＥ｜＝０
（１－λ）（２－λ）－１＝０
λ² －３λ＋１＝０

　　　３\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)５
∴λ＝――――
　　　　２

　　　（（３＋\(\sqrt{\quad}\)５）ⁿ 　　　　　　　）
　　　（（――――）　　　　０　　　）
　　　（（　２　　）　　　　　　　　）
Ｂⁿ ＝（　　　　　　　　　　　　　　）
　　　（　　　　　　　（３－\(\sqrt{\quad}\)５）ⁿ ）
　　　（　　０　　　　（――――）　）
　　　（　　　　　　　（　２　　）　）

（　　３＋\(\sqrt{\quad}\)５　　　　　　　）（　）　（　）
（１－――――　　　１　　　）（　）　（　）
（　　　２　　　　　　　　　）（ｘ）　（０）
（　　　　　　　　　　　　　）（　）　（　）
（　　　　　　　　　３＋\(\sqrt{\quad}\)５）（　）＝（　）
（　　１　　　　２－――――）（ｙ）　（０）
（　　　　　　　　　　２　　）（　）　（　）

　　　　３＋\(\sqrt{\quad}\)５　　　　　１＋\(\sqrt{\quad}\)５
∴ｙ＝（――――－１）ｘ＝――――ｘ
　　　　　２　　　　　　　　２

（ｘ）　（　　ｘ　　）　（　１　　）
（　）　（　　　　　）　（　　　　）
（　）＝（１＋\(\sqrt{\quad}\)５　）＝（１＋\(\sqrt{\quad}\)５）ｘ
（ｙ）　（――――ｘ）　（――――）
（　）　（　　２　　）　（　　２　）

同様にして、
（　　３－\(\sqrt{\quad}\)５　　　　　　　）（　）　（　）
（１－――――　　　１　　　）（　）　（　）
（　　　２　　　　　　　　　）（ｘ）　（０）
（　　　　　　　　　　　　　）（　）　（　）
（　　　　　　　　　３－\(\sqrt{\quad}\)５）（　）＝（　）
（　　１　　　　２－――――）（ｙ）　（０）
（　　　　　　　　　　２　　）（　）　（　）

　　　　３－\(\sqrt{\quad}\)５　　　　　１－\(\sqrt{\quad}\)５
∴ｙ＝（――――－１）ｘ＝――――ｘ
　　　　　２　　　　　　　　２

（ｘ）　（　　ｘ　　）　（　１　　）
（　）　（　　　　　）　（　　　　）
（　）＝（１－\(\sqrt{\quad}\)５　）＝（１－\(\sqrt{\quad}\)５）ｘ
（ｙ）　（――――ｘ）　（――――）
（　）　（　　２　　）　（　　２　）

したがって、行列Ｐは

　　（　　１　　　　１　　）
　　（　　　　　　　　　　）
Ｐ＝（１＋\(\sqrt{\quad}\)５　　１－\(\sqrt{\quad}\)５）
　　（――――　　――――）
　　（　　２　　　　　２　）

逆行列Ｐ^-1を求めて、

　　　　　　　　　　　　　（　１－\(\sqrt{\quad}\)５　　　　　）
　　　　　　　　　　　　　（　――――　　－１　）
　　　　　　　１　　　　　（　　２　　　　　　　）
Ｐ^-1＝―――――――――・（　　　　　　　　　　）
　　　１－\(\sqrt{\quad}\)５　１＋\(\sqrt{\quad}\)５　（　１＋\(\sqrt{\quad}\)５　　　　　）
　　　――――－――――　（－――――　　　１　）
　　　　２　　　　２　　　（　　２　　　　　　　）

　　　　　　　（　１－\(\sqrt{\quad}\)５　　　　　）
　　　　　　　（　――――　　－１　）
　　　　１　　（　　２　　　　　　　）
　　＝―――・（　　　　　　　　　　）
　　　－\(\sqrt{\quad}\)５　（　１＋\(\sqrt{\quad}\)５　　　　　）
　　　　　　　（－――――　　　１　）
　　　　　　　（　　２　　　　　　　）

Ａⁿ ＝Ｐ^-1Ｂⁿ Ｐより、

（ 1－\(\sqrt{\quad}\)5 ）(（3＋\(\sqrt{\quad}\)5）n ）( )
（ ――― －1 ）(（―――） 0 ）( 1 1 )
1 （ 2 ）(（ 2 ） ）( )
＝――・（ ）( ）( )
－\(\sqrt{\quad}\)5 （ 1＋\(\sqrt{\quad}\)5 ）( （3－\(\sqrt{\quad}\)5）n ）(1+\(\sqrt{\quad}\)5 1-\(\sqrt{\quad}\)5 )
（－――― 1 ）( 0 （―――） ）(――― ―――)
（ 2 ）( （ 2 ） ）( 2 2 )

（ａ_n ）　（１　１）^n-1 （１）
（　 ）＝（　　　）・　（　）
（ｂ_n ）　（１　２）　　（１）

　　　　（\(\sqrt{\quad}\)５－１　（３＋\(\sqrt{\quad}\)５）n-1 　　１　（３－\(\sqrt{\quad}\)５）n-1 　）
　　　　（――――・（――――）　　＋――・（――――）　　　）
　　　　（　\(\sqrt{\quad}\)５　　（　２　　）　　　\(\sqrt{\quad}\)５　（　２　　）　　　）
　　　＝（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）　………（答）
　　　　（\(\sqrt{\quad}\)５＋１　（３＋\(\sqrt{\quad}\)５）n-1 　　１　（３－\(\sqrt{\quad}\)５）n-1 　）
　　　　（――――・（――――）　　－――・（――――）　　　）
　　　　（　\(\sqrt{\quad}\)５　　（　２　　）　　　\(\sqrt{\quad}\)５　（　２　　）　　　）

問４
　　　　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)５－１　（３＋\(\sqrt{\quad}\)５）n-1 　　１　（３－\(\sqrt{\quad}\)５）n-1
　　　　　　　　　　　――――・（――――）　　＋――・（――――）
　　　　ａ_n 　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)５　　（　２　　）　　　\(\sqrt{\quad}\)５　（　２　　）
ｌｉｍ　――＝ｌｉｍ　―――――――――――――――――――――――――
ｎ→∞　ｂ_n 　ｎ→∞　\(\sqrt{\quad}\)５＋１　（３＋\(\sqrt{\quad}\)５）n-1 　　１　（３－\(\sqrt{\quad}\)５）n-1
　　　　　　　　　　　――――・（――――）　　－――・（――――）
　　　　　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)５　　（　２　　）　　　\(\sqrt{\quad}\)５　（　２　　）

　　　　　　　　３－\(\sqrt{\quad}\)５
　　　　　　＝――――――　………（答）
　　　　　　　　　２

※お便りをいただいたお二人（感謝！！）と答が違ってしまったので、
どこかで計算間違いをしてしまったようだ。見直すのはもう少しかかりそうだ。
ゴメン！！