① \(a_{n}\) = \(a_{1}\) + \(d_{1}\)(n - 1) , \(b_{n}\) = \(b_{1}\) + \(d_{2}\)(n - 1) と置く。
(1) a_(4n) = \(a_{1}\) + \(d_{1}\)(4n - 1) = \(a_{1}\) + 4d1×n - \(d_{1}\)
= \(a_{1}\) + 4\(d_{1}\)×n -4\(d_{1}\) + 3\(d_{1}\)
= \(a_{1}\) + 3\(d_{1}\) + 4\(d_{1}\)(n - 1).
より初項 \(a_{1}\) + 3\(d_{1}\) 公差 4\(d_{1}\) の等差数列である。
(2) 3\(a_{n}\) - 2\(b_{n}\)
= 3(\(a_{1}\) + \(d_{1}\)(n - 1)) - 2(\(b_{1}\) + \(d_{2}\)(n - 1))
= 3\(a_{1}\) - 2\(b_{1}\) + (3\(d_{1}\) - 2\(d_{2}\))(n - 1).
よって初項 3\(a_{1}\) - 2\(b_{1}\), 公差 3\(d_{1}\) - 2\(d_{2}\) の等差数列である。

② 公差を d と置こう。
\(a_{n}\) = 40 + d(n - 1).
第 n 部分和を \(S_{n}\) と書くと
\(S_{n}\) = n(80 + d(n-1))/2.
故に題意より
\(S_{19}\) - \(S_{9}\) = 19(80 + 18d)/2 - 9(80 + 8d)/2
= 19(40 + 9d) - 9(40 + 4d)
= 400 + 135d = -5.
135d = -405.
d = -3.
よって
\(a_{n}\) = 40 - 3(n - 1)
= 43 - 3n.
よって \(a_{n}\) は第 3 項までは +, それ以降は -.
従って
|\(a_{1}\)| + |\(a_{2}\)| + |\(a_{3}\)| + … + |\(a_{30}\)|
= \(a_{1}\) + \(a_{2}\) + \(a_{3}\) - (\(a_{4}\) + … + \(a_{30}\))
= \(S_{3}\) - (\(S_{30}\) - \(S_{3}\))
= 2\(S_{3}\) - \(S_{30}\)
= 3×(80 - 3×2) - 30×(80 - 3 ×29)/2
= 3×(80 - 6 - 5×(80 - 87))
= 3×(80 - 6 - 5×(-7))
= 3×(80 - 6 + 35) = 3 ×109 = 327.
③ [これは要するに定義だと思うのだが...]
\(b_{n}\) = 1/\(a_{n}\) = 3n + 1 が等差数列であることをいえばよい。
b_(n + 1) - \(b_{n}\) = 3(n + 1) + 1 - (3n + 1) = 3.
だからいえた。