1. これは Lagrange's interpolation formula を作れっていう
問題ではないのだろうか ?

a(x) = (x - X1)(x - X2)……(x - Xn)
とし,
\(a_{k}\)(x) = a(x)/(x - Xk)
(約分した結果) としよう。
a__k(x) は x = X1, X2, ..., Xn を代入してみると,
x = Xk 以外では全て 0 で
\(a_{k}\)(Xk) = (Xk - X1)(Xk - X2)……(Xk - Xn) (≠0)
である。
しかも deg \(a_{k}\)(x) = n - 1.
だから
f(x) = Σ_(k=1\()^{n}\) Yk \(a_{k}\)(x)/\(a_{k}\)(Xk)
とすれば題意を満たす。

2.
1) Taylor の定理より
sin x = x - (sin ξ)\(x^{2}\)/2 ＜ x, 0 ＜ ξ ＜ x ＜ π/2.
これで右半分は終り。
左半分は先ず 0 ＜ x ＜ 1 の時 0 ＜ ξ ＜ x ＜ π/2 で
x^(\(\frac{3}{2}\)) > ξx^(\(\frac{1}{2}\)) > ξ\(x^{2}\) > (sin ξ)\(x^{2}\) > (sin ξ)\(x^{2}\)/2
だから。
また 1 ≦ x の時は
x - x^(\(\frac{3}{2}\)) ≦ 0 ＜ sin x
だから証明すべきことはない。