S1: (x - 10\()^{2}\) + \(y^{2}\) + \(z^{2}\) = \(9^{2}\),
S2: \(x^{2}\) - (y - 10\()^{2}\) + \(z^{2}\) = \(8^{2}\).
求める直線は, 媒介変数 t を用いて
x = at,
y = bt,
z = ct,
\(a^{2}\) + \(b^{2}\) + \(c^{2}\) = 1
と表される。

直線の式を S1 の式に代入して t で纏めると
(\(a^{2}\) + \(b^{2}\) + \(c^{2}\) = 1 だから)
\(t^{2}\) - 20at + 19 = 0.
接するからこれの t に関する判別式を D と置くと
D/4 = 100\(a^{2}\) - 19 = 0.
故に a = \(\pm\)(\(\sqrt{\quad}\)19)/10.

同様に S2 の式に代入して t で纏めると
\(t^{2}\) - 20bt + 36 = 0,
D/4 = 100\(b^{2}\) - 36 = 0
∴b = \(\pm\)\(\frac{6}{10}\) = \(\pm\)\(\frac{3}{5}\).

\(a^{2}\) + \(b^{2}\) + \(c^{2}\) = 1 で c ≧ 0 だから
c = \(\sqrt{\quad}\)(1 - \(a^{2}\) -\(b^{2}\)) = \(\sqrt{\quad}\)(100 - 19 - 36) /10
= (\(\sqrt{\quad}\)45)/10 = 3(\(\sqrt{\quad}\)5)/10

(a, b, c) = (\(\pm\)(\(\sqrt{\quad}\)19)/10, \(\pm\)\(\frac{3}{5}\), 3(\(\sqrt{\quad}\)5)/10).
(複号はどのような順序にとってもよいので 4 種類ある。)