よく分からないので、教えて下さい。
問１
四面体ＯＡＢＣにおいて、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣのとき、頂点Ｏから引いた
垂線の足が外心と等しくなるのは、なぜですか？
教えてもらえたらとても嬉しいです。
問２
先生の話を聞いてもよく分かりませんでした。
四面体ＡＢＣＤにおいて、△ＢＣＤ、△ＣＤＡ、△ＤＡＢ、△ＡＢＣの
重心をそれぞれＧ1、Ｇ2、Ｇ3、Ｇ4とするとき、線分ＡＧ１、ＢＧ２、
ＣＧ３、ＤＧ４の交点がそれぞれの頂点と重心を３たい１に分けるのは
なぜですか。
分かりにくい説明でごめんなさい。よろしくお願いします。
問1:
頂点 O から引いた垂線の足を H と置く。
△OAH, △OBH, △OCH に於いて
仮定より OA = OB = OC で OH は共通,
H の引き方から
∠OHA = ∠OHB = ∠OHC = ∠R
なので直角三角形の斜辺と他の一辺の合同条件から
△OAH ≡ △OBH ≡ △OCH.
従って特に
HA = HB = HC.
というわけで, H を中心として半径 HA の円を描けば
それは頂点 B, C も通る。
ということはこの円は外接円なので, その中心 H は
外心であるということだ。
問2:
辺 CD の中点を M として, 四面体を平面 AMB で切断してみる。
この平面上に重心 G1, G2 があり,
AG1 : G1M = BG2 : G2M = 2 : 1
である。
以下切断面 AMB で考える。
AG2 と BG1 の交点を G とする。
辺 BM に平行に, 点G1 から直線を引き, AG2 との交点を E とする。
三角形の相似を考えて
△AG2M～△AEG1 (～は相似の記号の代わり)
G2M : EG1 = 3 : 2.
従って
BG2 : G2M : EG1 = 6 : 3 : 2.
特に
BG2 : EG1 = 6 : 2 = 3 : 1.
△BG2G～△G1EG より
BG : GG1 = BG2 : G1E = 3 : 1.
他の頂点からに関しても同様。