０．３３乗は３３／１００乗とします。分数乗にすると、
次の分数指数の定義が使えます。
ａ^{\(\frac{m}{n}\)}＝ⁿ\(\sqrt{\quad}\)（a^m）
したがって、
４^0.33＝４^{\(\frac{33}{100}\)}
　　　 ＝（２²）^{\(\frac{33}{100}\)}
　　　 ＝２^{2x\(\frac{33}{100}\)}
　　　 ＝２^{\(\frac{33}{50}\)}
　　　 ＝⁵⁰\(\sqrt{\quad}\)（２³³）
５０乗根なので、平方根のように暗算では出来ません。

一番簡単なのは、関数電卓を使う方法です。
４^0.33＝ 1.580082623727
でもあなたは、「電卓は使ってはいけない」と信じているか
もしれません。

しぶしぶ対数を使うことにしましょう。これも、対数表や関
数電卓の対数を使うので、変わりないのですが……
４^0.33＝Ｘとおく。
両辺に常用対数をとると、
log ４^0.33＝log Ｘ
log Ｘ＝0.33・log ４
log Ｘ＝0.33・log ２²
log Ｘ＝0.66・log ２
対数表より、log ２≒0.3010を代入して
log Ｘ≒0.66×0.3010＝ 0.19866
対数表をみて、値が0.1987に一番近いＸを探すと、
Ｘ≒1.58

常用対数表なんて過去の遺物ですね。関数電卓でやるのが
一番ですね。