もしも \(\sqrt{\quad}\)3 が無理数でなかったとしたら, 有理数でなければならない。
有理数だとすれば, 既約分数で書けるから, 整数 a, b > 0 が存在して
\(\sqrt{\quad}\)3 = \(\frac{b}{a}\)
と書けなければならない。
自乗して
3 = \(b^{2}\)/\(a^{2}\)
分母を払って
3\(a^{2}\) = \(b^{2}\).
b は 3 で割り切れなければならない。
つまり整数 c > 0 が存在して b = 3c と書ける。
代入すると
3\(a^{2}\) = 9\(c^{2}\).
両辺を 3 で割ると
\(a^{2}\) = 3\(c^{2}\).
すると a も 3 で割り切れなければならない。
ところが, b も 3 で割り切れたし, \(\frac{b}{a}\) は既約分数
だったはずなので, これは矛盾である。
この矛盾は \(\sqrt{\quad}\)3 が有理数だと仮定したことによって生じたのだから
\(\sqrt{\quad}\)3 は有理数ではない。
だから \(\sqrt{\quad}\)3 は無理数。