\(\sqrt{\quad}\)２の連分数展開は
[1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,・・・・・]となり
法則は、
\(\sqrt{\quad}\)(\(k^{2}\)+1)=[k,2k,2k,2k・・・・]とまでは解ったのですが
この証明がさっぱりなんです、
お願いします
\(\sqrt{\quad}\)２の連分数展開は
[1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,・・・・・]となり
法則は、
\(\sqrt{\quad}\)(\(k^{2}\)+1)=[k,2k,2k,2k・・・・]とまでは解ったのですが
この証明がさっぱりなんです、
お願いします
x = [k, 2k, 2k, 2k, ...]
と置こう。
即ち
x - k = [0, 2k, 2k, ...] = 1/(2k + 1/(2k + …))
即ち
x - k = 1/(2k + (x - k))
x - k = 1/(x + k)
(x - k)(x + k) = 1.
\(x^{2}\) - \(k^{2}\) = 1.
\(x^{2}\) = \(k^{2}\) + 1.
明らかに x > 0 だから
x = \(\sqrt{\quad}\)(\(k^{2}\) + 1).