①周囲の長さは線積分より、
　　　π/2　　　ｄｘ　　　　ｄｙ
Ｌ＝４∫　\(\sqrt{\quad}\)｛（――）² ＋（――）² ｝ｄｔ
　　　０　　　　ｄｔ　　　　ｄｔ

｛ｘ＝ａcos³ ｔ
｛ｙ＝ａsin³ ｔ
ｔで微分して、
ｄｘ
――＝ａ・３cos² ｔ・（－sinｔ）＝－３ａsinｔcos² ｔ
ｄｔ

ｄｙ
――＝ａ・３sin² ｔ・cosｔ＝３ａsin² ｔcosｔ
ｄｔ

　　　ｄｘ　　　　ｄｙ
\(\sqrt{\quad}\)｛（――）² ＋（――）² ｝
　　　ｄｔ　　　　ｄｔ

＝\(\sqrt{\quad}\)（９ａ² sin² ｔcos⁴ ｔ＋９ａ² sin⁴ cos² ｔ）
＝\(\sqrt{\quad}\)｛９ａ² sin² ｔcos² ｔ（cos² ｔ＋sin² ｔ）｝
＝３ａsinｔcosｔ

　３ａ
＝――sin２ｔ
　２

　　　π/2　３ａ　　　　　　　　　π/2
Ｌ＝４∫　　――sin２ｔｄｔ＝６ａ∫　　sin２ｔｄｔ
　　　０　　２　　　　　　　　　　０

　　　　　－cos２ｔ　π/2
　＝６ａ［―――――］
　　　　　　　２　　０

　　　　　１　　　１
　＝６ａ｛―－（－―）｝＝６ａ………（答）
　　　　　２　　　２

②③は、Hoshinoさんの解答をご覧ください。

asteroid っていうのはギリシャ語の「星」から来ているのですよ。
アスターっていう花があるでしょ ? あとアストロノートとか。

d\(\frac{x}{d}\)t = -3a co\(s^{2}\) t sin t,
d\(\frac{y}{d}\)t = 3a si\(n^{2}\) t cos t.
故に
d\(x^{2}\) + d\(y^{2}\)
= (3a\()^{2}\) (co\(s^{4}\) t si\(n^{2}\) t + si\(n^{4}\) t co\(s^{2}\) t)d\(t^{2}\)
= (3a co\(s^{2}\) t si\(n^{2}\) t\()^{2}\) (co\(s^{2}\) t + si\(n^{2}\) t)d\(t^{2}\)
= (3a co\(s^{2}\) t si\(n^{2}\) t dt\()^{2}\).
あとは頑張れば周の長さが出るでしょう。

面積は
y dx = 3a si\(n^{3}\) t ×3a si\(n^{2}\) t cos t dt
= 9a si\(n^{5}\) t cos t dt.
ここで s = sin t と変換すれば ds = cos t dt ですから
y dx = 9a \(s^{5}\) ds.
あとは出来るでしょう。

回転体の体積についても
π\(y^{2}\) dx
= π×9\(a^{2}\) si\(n^{6}\) t × 3a si\(n^{2}\) t cos t dt
= 27π\(a^{3}\) si\(n^{8}\) t cos t dt
ですが, 面積の時と同じ置換をすれば出来ますね。