①―→
　ＰＱ＝（－１－２，５－４，１－３）＝（－３，１，－２）
　―→
　ＰＲ＝（３－２，１－４，４－３）＝（１，－３，１）

　　―→　―→
内積ＰＱ・ＰＲ＝（－３）×１＋１×（－３）＋（－２）×１
　　　　　　　＝－８………（答）

②△ＰＱＲの面積（体積ではなく、面積でしょう！）
　　　１　―→　　―→
　Ｓ＝―｜ＰＱ｜｜ＰＲ｜sinθ
　　　２

内積より、
―→　―→　　―→　　―→
ＰＱ・ＰＲ＝｜ＰＱ｜｜ＰＲ｜cosθ

　―→
｜ＰＱ｜＝\(\sqrt{\quad}\)｛（－３）² ＋１² ＋（－２）² ｝
　　　　＝\(\sqrt{\quad}\)１４
　―→
｜ＰＲ｜＝\(\sqrt{\quad}\)｛１² ＋（－３）² ＋１² ｝
　　　　＝\(\sqrt{\quad}\)１１

したがって、
－８＝\(\sqrt{\quad}\)１４×\(\sqrt{\quad}\)１１×cosθ

　　　　　－８
cosθ＝―――――
　　　　\(\sqrt{\quad}\)１５４

　　　　　　　　　　－８
sinθ＝\(\sqrt{\quad}\)｛１－（―――――）² ｝
　　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)１５４

　　　　　　１５４－６４
　　　＝\(\sqrt{\quad}\)（――――――）
　　　　　　　　１５４

　　　　　　　９０
　　　＝\(\sqrt{\quad}\)―――――
　　　　　　１５４

したがって、面積Ｓは、

　　１　　　　　　　　　　　　９０
Ｓ＝―×\(\sqrt{\quad}\)１４×\(\sqrt{\quad}\)１１×\(\sqrt{\quad}\)―――――
　　２　　　　　　　　　　　１５４

　　３\(\sqrt{\quad}\)１０
　＝――――………（答）
　　　２

682 (2)
面積ですよね。体積は 0 です (笑)。
θ = ∠RPQ とすると
△ＰＱＲ = |PQ||PR|sin θ
= |PQ||PR|\(\sqrt{\quad}\)(1 - co\(s^{2}\) θ)
= \(\sqrt{\quad}\)(|PQ|^2 |PR|^2 - (|PQ||PR|cos θ\()^{2}\))
= \(\sqrt{\quad}\)(|PQ|^2 |PR|^2 - (PQ･PR\()^{2}\))
PQ･PR はベクトルの内積で (1) で求めたもの。