①３＋\(\sqrt{\quad}\)３が有理数と仮定すると、
　　　　　ｍ
３＋\(\sqrt{\quad}\)３＝―
　　　　　ｎ

　　　ｍ　　　ｍ－３ｎ
\(\sqrt{\quad}\)３＝―－３＝――――
　　　ｎ　　　　ｎ

条件より、\(\sqrt{\quad}\)３は無理数だから、分数にはならないので、矛盾。
したがって、３＋\(\sqrt{\quad}\)３は無理数

②３・\(\sqrt{\quad}\)３が有理数と仮定すると、
　　　　　ｍ
３・\(\sqrt{\quad}\)３＝―
　　　　　ｎ

　　　　ｍ
\(\sqrt{\quad}\)３＝――
　　　３ｎ

条件より、\(\sqrt{\quad}\)３は無理数だから、分数にはならないので、矛盾。
したがって、３・\(\sqrt{\quad}\)３は無理数

③１／\(\sqrt{\quad}\)３が有理数と仮定すると、

　１　　ｍ
―――＝―
\(\sqrt{\quad}\)３　　ｎ

ひっくり返して、
　　　ｎ
\(\sqrt{\quad}\)３＝―
　　　ｍ

条件より、\(\sqrt{\quad}\)３は無理数だから、分数にはならないので、矛盾。
したがって、１／\(\sqrt{\quad}\)３は無理数

(1) 3 + \(\sqrt{\quad}\)3 = r を有理数とすると
\(\sqrt{\quad}\)3 = r - 3. 右辺は有理数で, 左辺は無理数だから矛盾。
(2) 3\(\sqrt{\quad}\)3 = r を有理数とすると \(\sqrt{\quad}\)3 = \(\frac{r}{3}\). 以下同様。
(3) 1/\(\sqrt{\quad}\)3 = r を有理数とすると
r\(\sqrt{\quad}\)3 = 1
\(\sqrt{\quad}\)3 = \(\frac{1}{r}\). 以下同様。