はじめまして。次の問題教えてください。参考書を見ても
よくわかりません。テストがあさってにあるので、できるだけ
早くお願いします。
＜問１＞
直線l:x=-1,点F(1,0)がある。点P(x,y)からlに垂線PHを
ひくとき、e=PF/PHを考える。
（1）e=1/\(\sqrt{\quad}\)2のとき、点Pの軌跡を求めよ。
＜問２＞
楕円ｘ＾\(\frac{2}{9}\) + \(y^{2}\)/4=1の第一象限の部分の上に点P(x,y)をと
る。点PからX軸、Y軸にそれぞれ垂線PQ,PRをひく。
長方形OQPRの面積の最大値とそのときのPの座標を求めよ。
よろしくお願いします。
＜問１＞
P(x,y)とF(1,0)間の距離は、PF＝\(\sqrt{\quad}\){(x-1)2＋ｙ2}
P(x,y)とH(-1,y)間の距離は、PH＝x+1
PF/PH=e=1/\(\sqrt{\quad}\)2より、
\(\sqrt{\quad}\){(x-1)2＋ｙ2} １
────────＝────
ｘ＋１ \(\sqrt{\quad}\)２
変形して
\(\sqrt{\quad}\)２×\(\sqrt{\quad}\){(x-1)2＋ｙ2}＝ｘ＋１
２乗して
２{(x-1)2＋ｙ2}＝（ｘ＋１）2
展開して
２ｘ2－４ｘ＋２＋２ｙ2＝ｘ2＋２ｘ＋１
ｘ2－６ｘ＋１＋２ｙ2＝０
ｘ2－６ｘ＋９－９＋１＋２ｙ2＝０
（ｘ－３）2＋２ｙ2＝８
したがって
（ｘ－３）2 ｙ2
─────＋───＝１
８ ４
点Pの軌跡は、中心（３，０）、長径２\(\sqrt{\quad}\)２、短径２の楕円となる。
＜問２＞
楕円ｘ2/9 + y2/4=1の第一象限の部分の
長方形OQPRの面積をＳとする。
Ｓ＝ｘｙ
２乗して
Ｓ2＝ｘ2ｙ2……①
ｘ2/9 + y2/4=1を変形して
ｙ2＝４－\(\frac{4}{9}\)・ｘ2……②
②を①に代入すると、
Ｓ2＝ｘ2ｙ2
＝ｘ2（４－\(\frac{4}{9}\)・ｘ2）
＝４ｘ2－\(\frac{4}{9}\)・ｘ4
＝－\(\frac{4}{9}\)（ｘ4－９ｘ2）
＝－\(\frac{4}{9}\)（ｘ4－９ｘ2＋\(\frac{81}{4}\)－\(\frac{81}{4}\)）
＝－\(\frac{4}{9}\)（ｘ2－\(\frac{9}{2}\)）2＋９
ｘ2＝\(\frac{9}{2}\)のとき、最大値９
点Ｐ（ｘ、ｙ）は第一象限だから、ｘ＞０より、
∴ｘ＝３／\(\sqrt{\quad}\)２
②に代入して、
ｙ2＝４－\(\frac{4}{9}\)・\(\frac{9}{2}\)＝４－２＝２
ｙ＞０より、
∴ｙ＝\(\sqrt{\quad}\)２
点Ｐ（３／\(\sqrt{\quad}\)２、\(\sqrt{\quad}\)２）
Ｓ＞０より、面積の最大値は
Ｓ＝\(\sqrt{\quad}\)９＝３