f(x,y)=a\(x^{2}\)+bxy+c\(y^{2}\)は２次形式なので、
直交行列を使って変数変換すると
a\(x^{2}\)+bxy+c\(y^{2}\)=p\(X^{2}\)+q\(Y^{2}\)と書ける。
ここで、p,qは固有値である。
a+c=p+q,ac-(\(\frac{b}{2}\)\()^{2}\)=pqを満たす実数である。
直交行列による変換は、座標軸の回転だから２点の距離を保つ。

a>0,\(b^{2}\)-4ac＜0だから、c>0.よってp,qは正の実数である。
p\(X^{2}\)+q\(Y^{2}\)=kとすると、
これは、k>0のとき楕円を表し、
面積は
π(\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{k}{p}\))(\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{k}{q}\))=πk/\(\sqrt{\quad}\)(pq)
　　　　　　　　=πk/\(\sqrt{\quad}\)(-D/4)
　　　　　　　　=2πk/\(\sqrt{\quad}\)(-D)
よって、
元の２次形式a\(x^{2}\)+bxy+c\(y^{2}\)=kも楕円を表し、
面積は2πk/\(\sqrt{\quad}\)(-D)である。