半径１の円に内接する正５角形を描くと、
まず半径ＢＯの真ん中に点Ｃをとる。
ＣＯ＝１／２
△ＡＣＯにおいて、三平方の定理より、
ＡＣ²＝ＡＯ²＋ＣＯ²
　　　\(\sqrt{\quad}\)５
ＡＣ＝――
　　　　２
この後、描き方が２つに分かれる。
（１）ＣＯ＝ＣＤより、
　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)５－１
　　　ＡＤ＝――――
　　　　　　　２

　　　ＡＤ＝ＡＥより、正１０角形の一辺が求まる。
　　　なぜ、正１０角形の一辺になるかと言うと、
　　　３６０°÷１０＝３６°
　　　ＡＥ＝２sin１８°
　　　cos３６°＝cos（９０°－５４°）＝sin５４°より、
　　　cos（２・１８°）＝１－２sin²１８°
　　　sin（３・１８°）＝３sin１８°－４sin³１８°
　　　sin１８°＝ｘとおくと、
　　　１－２ｘ²＝３ｘ－４ｘ³
　　　４ｘ³－２ｘ²－３ｘ＋１＝０
　　　（ｘ－１）（４ｘ²＋２ｘ－１）＝０
　　　０＜sin１８°＜１より、０＜ｘ＜１
　　　したがって、
　　　　　　　　　　　－１＋\(\sqrt{\quad}\)５
　　　　　　　　　ｘ＝―――――
　　　　　　　　　　　　　４

　　　　　　　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)５－１
　　　∴ＡＥ＝２sin１８°＝―――――
　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　　△ＡＥＦより、正５角形の一辺はＡＦとなる。

（２）ＡＣ＝ＧＣより、
　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)５－１
　　　ＧＯ＝――――
　　　　　　　　２
　　　△ＡＧＯにおいて、三平方の定理より、
　　　ＡＧ²＝ＧＯ²＋ＡＯ²

　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)（１０－２\(\sqrt{\quad}\)５）
　　　ＡＧ＝―――――――――
　　　　　　　　　２

　　　ＡＧ＝ＡＦより、正５角形の一辺はＡＦとなる。

ともかく（１）（２）のどちらかにより、正５角形の一辺が求まるが、
ＡＦが本当に
　　　　\(\sqrt{\quad}\)（１０－２\(\sqrt{\quad}\)５）
　　　　―――――――――
　　　　　　　　２
となるか、確認してみよう。



ＡＦ＝２ＡＨ

△ＡＥＨより、
　　　\(\sqrt{\quad}\)５－１
ＡＨ＝――――・cos１８°
　　　　　２

△ＯＡＨより、

ＡＨ＝sin３６°＝２sin１８°cos１８°

\(\sqrt{\quad}\)５－１
――――＝２sin１８°
　　２

　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)５－１
∴sin１８°＝―――――
　　　　　　　　　４

したがって、
　　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)５－１
ＡＦ＝２ＡＨ＝２・――――・\(\sqrt{\quad}\)（１－sin²１８°）
　　　　　　　　　　　２

　　　　　　　　　　　　　　５－２\(\sqrt{\quad}\)５＋１
　　＝（\(\sqrt{\quad}\)５－１）・\(\sqrt{\quad}\)（１－―――――――）
　　　　　　　　　　　　　　　　１６

　　　　　　　　　　　　１６－６＋２\(\sqrt{\quad}\)５
　　＝（\(\sqrt{\quad}\)５－１）・\(\sqrt{\quad}\)（――――――――）
　　　　　　　　　　　　　　　１６

　　　\(\sqrt{\quad}\)｛（５－２\(\sqrt{\quad}\)５＋１）（１０＋２\(\sqrt{\quad}\)５）｝
　　＝――――――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　４

　　　\(\sqrt{\quad}\)（６０＋１２\(\sqrt{\quad}\)５－２０\(\sqrt{\quad}\)５－２０）
　　＝――――――――――――――――――
　　　　　　　　　　４

　　　\(\sqrt{\quad}\)（４０－８\(\sqrt{\quad}\)５）
　　＝―――――――――
　　　　　　４

　　　２\(\sqrt{\quad}\)（１０－２\(\sqrt{\quad}\)５）
　　＝――――――――――
　　　　　　　４

　　　\(\sqrt{\quad}\)（１０－２\(\sqrt{\quad}\)５）
　　＝―――――――――
　　　　　　２