―→　→　―→　→　―→　→
ＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂ、ＯＣ＝ｃとし、
正四面体だから、それぞれの大きさは等しい。
　→　　　→　　　→
｜ａ｜＝｜ｂ｜＝｜ｃ｜＝ｒとおくと、

　　　→　　　　→　→　　　　→　→
―→　ａ　―→　ｂ＋ｃ　―→　ａ＋ｃ
ＯＰ＝―、ＯＱ＝―――、ＯＲ＝―――
　　　２　　　　　２　　　　　　２
したがって、
　　　　　　　　　→　→　→
―→　―→　―→　ｂ＋ｃ－ａ
ＰＱ＝ＯＱ－ＯＰ＝―――――
　　　　　　　　　　　２

内積より、
―→　―→　　―→　　―→
ＯＲ・ＰＱ＝｜ＯＲ｜｜ＰＱ｜cosθ

　　　　　　　　　→　→　→　→　→
　　　―→　―→　ａ＋ｃ　ｂ＋ｃ－ａ
左辺＝ＯＲ・ＰＱ＝―――・―――――
　　　　　　　　　　２　　　　２

　　　１　→　→　→　→　→　→　→　→　→　→　→　→
　　＝―（ａ・ｂ＋ａ・ｃ－ａ・ａ＋ｃ・ｂ＋ｃ・ｃ－ｃ・ａ）
　　　４

　　　１
　　＝―（ｒ²cos６０°－ｒ²＋ｒ²cos６０°＋ｒ²）
　　　４

　　　１
　　＝―ｒ²cos６０°
　　　２

　　　１
　　＝―ｒ²
　　　４

　　　　　→　→　→　→　　　→　→　→　→　→　→
　　　　　ａ＋ｃ　ａ＋ｃ　　　ｂ＋ｃ－ａ　ｂ＋ｃ－ａ
右辺＝\(\sqrt{\quad}\)（―――・―――）\(\sqrt{\quad}\)（―――――・―――――）cosθ
　　　　　　２　　　２　　　　　　２　　　　　２

　　　１　　　　　　　　　　　　　　１
　　＝―\(\sqrt{\quad}\)（２ｒ²＋２ｒ²cos６０°）――\(\sqrt{\quad}\)（３ｒ²＋２ｒ²cos６０°－２ｒ²cos６０°－２ｒ²cos６０°）cosθ
　　　２　　　　　　　　　　　　　　２

　　　１　　　　　１
　　＝―\(\sqrt{\quad}\)（３ｒ²）―\(\sqrt{\quad}\)（２ｒ²）cosθ
　　　２　　　　　２

　　　\(\sqrt{\quad}\)６
　　＝――ｒ²cosθ
　　　　４

したがって、
１　　　\(\sqrt{\quad}\)６
―ｒ²＝――ｒ²cosθ
４　　　　４

　　　　　　１
∴cosθ＝―――………（答）
　　　　　\(\sqrt{\quad}\)６