武田先生、お久しぶりです。
本日は、微積分のところで分からない問題があるので
ご教授願いませんか？お願いします。
閉区間[-\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{2}\)]上の関数ｆ(x)を次の式で定義する。
x＋1
ｆ(x)＝∫ log(│t-\(\frac{1}{2}\)│+\(\frac{1}{2}\)）dt
x
(1)ｆ(x)の導関数ｆ'(x)（-\(\frac{1}{2}\)＜x＜\(\frac{1}{2}\))を求めよ。
(2)ｆ(x)を最小にするｘの値のａと、そのときの
最小値を求めよ。
(3)(2)で求めたａに対して、
ａ+1
∫ ｔlog(│t-\(\frac{1}{2}\)│+\(\frac{1}{2}\))dt
ａ
を求めよ。
宜しくお願いします。
問１
ｄ ｄ x+1 １ １
ｆ’（ｘ）＝――ｆ（ｘ）＝――∫ log（｜ｔ－―｜＋―）ｄｔ
ｄｘ ｄｘ x ２ ２
１ １ １ １
＝log（｜ｘ＋１－――｜＋――）－log（｜ｘ－―｜＋―）
２ ２ ２ ２
１ １ １ １
＝log（｜ｘ＋――｜＋――）－log（｜ｘ－―｜＋―）＝※
２ ２ ２ ２
１ １
－―≦ｘ≦― より、
２ ２
１ １
ｘ＋―≧０、ｘ－―≦０
２ ２
１＋ｘ
※＝log（ｘ＋１）－log（－ｘ＋１）＝log ―――― ………（答）
１－ｘ
問２
ｘ≠１、ｆ’（ｘ）＝０より、
１＋ｘ
―――＝１
１－ｘ
１＋ｘ＝１－ｘ
２ｘ＝０
∴ｘ＝０
1 １ １
ｆ（０）＝∫ log（｜ｔ－―｜＋―）ｄｔ
0 ２ ２
1 \(\frac{1}{2}\)
＝∫ log（ｔ）ｄｔ＋∫ log（－ｔ＋１）ｄｔ
\(\frac{1}{2}\) 0
＝log２－１
１ １
－―≦ｘ≦― より、
２ ２
ｘ＝０のとき、極小だから、
∴ａ＝０のとき、最小値（log２－１）………（答）
問３
1 １ １
∫ ｔlog（｜ｔ－―｜＋―）ｄｔ
0 ２ ２
1 \(\frac{1}{2}\)
＝∫ ｔlog（ｔ）ｄｔ＋∫ ｔlog（－ｔ＋１）ｄｔ
\(\frac{1}{2}\) 0
（途中の計算は省略）
１
＝―（log２－１）………（答）
２