武田先生、お忙しいところ失礼します。
経済学で出てきた凹関数というものについてなのですが、
まず、横軸にx、縦軸にf(x)をとります。
次に、ある２つのx'、x''があって、
それがx'＜x''のときに、
f(0.5x'＋0.5x'') ＞ 0.5f(x')＋0.5f(x'')
となるような関数f(x)は、
凹関数というf(x)＝\(\sqrt{\quad}\)xのような形状の曲線になるそうなのですが、
これは数学的にはどうして凹関数というものになると分かる
のでしょうか？
数学とは関係ないものから導出されているのでしょうか？
x1＜x2のとき、
x1＋x2 ｆ（x1）＋ｆ（x2）
ｆ（―――）＞―――――――――
２ ２
ならば、上に凸の関数となる。凸関数は凹関数でもある。
なお、ｙ＝\(\sqrt{\quad}\)ｘ（無理関数）は、次の理由で上に凸関数となる。
x1＋x2 \(\sqrt{\quad}\)x1＋\(\sqrt{\quad}\)x2
\(\sqrt{\quad}\)（―――）＞―――――を証明してみると、
２ ２
x1＋x2 \(\sqrt{\quad}\)x1＋\(\sqrt{\quad}\)x2
左辺2－右辺2＝｛\(\sqrt{\quad}\)（―――）｝2－（―――――）2
２ ２
x1＋x2 x1＋２\(\sqrt{\quad}\)(x1x2)＋x2
＝――― － ―――――――――
２ ４
２x1＋２x2－x1－２\(\sqrt{\quad}\)(x1x2)－x2
＝―――――――――――――――
４
x1－２\(\sqrt{\quad}\)(x1x2)＋x2
＝―――――――――
４
（\(\sqrt{\quad}\)x1－\(\sqrt{\quad}\)x2）2
＝――――――――＞０
４
左辺2＞右辺2
∴左辺＞右辺