ｘ²　　ｙ²
──＋──＝１　を楕円の式とします。
ａ²　　ｂ²

ｘ＝ａsinθ、ｙ＝ｂcosθとおくと、
d\(\frac{x}{d}\)θ＝ａcosθ、d\(\frac{y}{d}\)θ＝－ｂsinθ

周の長さｓは線積分で求めます。
　　　π/2
ｓ＝４∫　\(\sqrt{\quad}\)｛（d\(\frac{x}{d}\)θ）²＋（d\(\frac{y}{d}\)θ）²｝ｄθ
　　　 0

一部を先に計算すると、
｛（d\(\frac{x}{d}\)θ）²＋（d\(\frac{y}{d}\)θ）²｝
＝ａ²cos²θ＋ｂ²sin²θ
＝ａ²（１－sin²θ）＋ｂ²sin²θ
＝ａ²－ａ²sin²θ＋ｂ²sin²θ
＝ａ²－（ａ²－ｂ²）sin²θ
＝ａ²｛１－（ａ²－ｂ²）／ａ²・sin²θ｝

ｋ²＝（ａ²－ｂ²）／ａ²とおくと、
｛（d\(\frac{x}{d}\)θ）²＋（d\(\frac{y}{d}\)θ）²｝
＝ａ²（１－ｋ²・sin²θ）

したがって、
　　　π/2
ｓ＝４∫　\(\sqrt{\quad}\)｛（d\(\frac{x}{d}\)θ）²＋（d\(\frac{y}{d}\)θ）²｝ｄθ
　　　 0
　　　π/2
　＝４∫　\(\sqrt{\quad}\)｛ａ²（１－ｋ²・sin²θ）｝ｄθ
　　　 0
　　　　π/2
　＝４ａ∫　\(\sqrt{\quad}\)（１－ｋ²・sin²θ）ｄθ
　　　　 0
二項定理より、
　　　　π/2
ｓ＝４ａ∫（１－\(\frac{1}{2}\)・ｋ²・sin²θ＋\(\frac{1}{2}\)(-\(\frac{1}{2}\))\(\frac{1}{2}\)!・ｋ⁴・sin⁴θ－……）ｄθ
　　　　 0
　＝４ａ（π/2－\(\frac{1}{2}\)・ｋ²・\(\frac{1}{2}\)・π/2＋\(\frac{1}{2}\)(-\(\frac{1}{2}\))\(\frac{1}{2}\)!・ｋ⁴・\(\frac{3}{4}\)・\(\frac{1}{2}\)・π/2－……）
　＝２ａπ（１－\(\frac{1}{4}\)・ｋ²－\(\frac{3}{64}\)・ｋ⁴－5/ 256・ｋ⁶－……）

つまり、楕円の周の長さｓは、近似値でしか求まらない。
かなり難しいですね。
例えば、ａ＝１０、ｂ＝８とすると、
ｋ＝３／５より、
ｓ＝２０π（１－0.09－0.006075－0.00091125－……）
　＝２０π・0.90301375
　＝56.737437529
　≒５６．７４