期末テストが金曜日から行われます。今回の数学のテスト範囲については、
全て学校のプリントからということですが、病院に行ってて、1回授業を受
けていないんです。一応解いてみたんだけど合っているかどうか自信があり
ません。答え合わせという形になりますが、解いていただけませんでしょう
か。お願いします。
logは自然対数とし、自然対数の底をｅで表す。関数
f(x)＝２ｘ－ｘｌｏｇｘ（ｘ＞０）
について、次の問いに答えよ。
(1)関数f(x)の増減、そのグラフの凹凸を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)曲線ｙ＝f(x)上の点(ｅ^2、f(\(e^{2}\)））における接線ｌ(エル）の方程式を
求めよ。また、ｙ＝f(x)の接線のうち、直線lに直交する直線ｍの方程式
を求めよ。
(3)(2)における２直線ｌ、ｍと曲線ｙ＝f(x)で囲まれた部分の面積を求めよ。
(01 愛媛大・理,医,工）
問１
ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｘlogｘ
ｆ′（ｘ）＝２－logｘ－１
＝１－logｘ
１
ｆ″（ｘ）＝－―
ｘ
ｆ′（ｘ）＝０より、ｘ＝ｅ
ｆ″（ｘ）＝０となるｘは無い。
ｆ（ｅ）＝２ｅ－ｅlogｅ
＝２ｅ－ｅ
＝ｅ
０＜ｘ＜ｅで増加、ｅ＜ｘで減少
ｘ＝ｅにおいて、極大値ｅ
上に凸、グラフは上記。
問２
ｆ（ｅ2 ）＝２ｅ2 －ｅ2 logｅ2
＝２ｅ2 －２ｅ2
＝０
ｆ′（ｅ2 ）＝１－logｅ2
＝１－２
＝－１
ｙ－０＝－１（ｘ－ｅ2 ）
∴ｙ＝－ｘ＋ｅ2 ………直線Ｌ
－１×ｍ＝－１より、
ｍ＝１
ｆ′（ｘ）＝１－logｘ＝１
logｘ＝０
∴ｘ＝１
ｆ（１）＝２－log１
＝２
ｙ－２＝１（ｘ－１）
∴ｙ＝ｘ＋１ ………直線Ｍ
問３
交点は連立して
－ｘ＋ｅ2 ＝ｘ＋１
２ｘ＝ｅ2 －１
ｅ2 －１
∴ｘ＝――――
２
囲まれた面積は、２つに分かれる。
（ｅ2 －１）／２
Ｓ1＝∫ ｛（ｘ＋１）－（２ｘ－ｘlogｘ）｝ｄｘ
１
（ｅ2 －１）／２
＝∫ ｛－ｘ＋１＋ｘlogｘ）ｄｘ
１
（ｅ2 －１）2 ｅ2 －１ （ｅ2 －１）2 ｅ2 －１
＝―――――――・log ―――― － ――――――― ＋ ――――
８ ２ ８ ４
ｅ2
Ｓ2＝∫ ｛（－ｘ＋ｅ2 ）－（２ｘ－ｘlogｘ）｝ｄｘ
（ｅ2 －１）／２
ｅ2
＝∫ （－３ｘ＋ｅ2 ＋ｘlogｘ）ｄｘ
（ｅ2 －１）／２
（ｅ2 －１）2 ｅ2 －１ ３（ｅ2 －１）2 ｅ2 －１
＝－ ―――――――・log ―――― ＋ ――――――――― ＋ ――――
８ ２ ８ ４
したがって、
ｅ4 －１
Ｓ＝Ｓ1＋Ｓ2＝―――― ………（答）
４