展開の公式より、
（ｎ＋１）³ －ｎ³ ＝３ｎ² ＋３ｎ＋１

順にｎ＝１，２，３，………，ｎを代入すると、

２³ －１³ ＝３・１² ＋３・１＋１
３³ －２³ ＝３・２² ＋３・２＋１
４³ －３³ ＝３・３² ＋３・３＋１
………………
ｎ³ －(n-1)³ ＝３・(n-1)² ＋３・(n-1)＋１
(n+1)³ －ｎ³ ＝３・ｎ² ＋３・ｎ＋１

上から下まで加えると、左辺は打ち消し合うので、
　　　　　　　　　n　　　　　　n
(n+1)³ －１³ ＝３・Σ　ｋ² ＋３・Σ　ｋ＋ｎ
　　　　　　　　　k=1　　　　　k=1

n　　　ｎ（ｎ＋１）
Σ　ｋ＝――――――　より、
k=1　　　　　２

　　n　　　　　　　　　　　　　　　ｎ（ｎ＋１）
３・Σ　ｋ² ＝（ｎ＋１）³ －１－３・――――――－ｎ
　　k=1　　　　　　　　　　　　　　　　　２

　　　　　　　１
　　　　　　＝―（２ｎ³ ＋６ｎ² ＋６ｎ＋２－２－３ｎ² －３ｎ－２ｎ）
　　　　　　　２

　　　　　　　１
　　　　　　＝―（２ｎ³ ＋３ｎ² ＋ｎ）
　　　　　　　２

　　　　　　　１
　　　　　　＝―ｎ（２ｎ² ＋３ｎ＋１）
　　　　　　　２

　　　　　　　１
　　　　　　＝―ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
　　　　　　　２

したがって、
n　　　　１
Σ　ｋ² ＝―ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）
k=1　　　６

証明終了

ありがとうございました！お返事遅れて申し訳ないです。
すごい分かりやすかったです！

ところで∑（k＝1～n）kがn（n＋1）/2
というのが分からない状態で証明するのはどうすればいいでしょうか？

低レベルですいません。

n　　　ｎ（ｎ＋１）
Σ　ｋ＝――――――　を証明してみよう。
k=1　　　　　２

１＋２＋３＋………＋ｎ＝Ｓとおくと、
ガウスが少年の頃考えた逆を足す考え方で、

Ｓ＝１＋　２　＋３　＋………＋ｎ
Ｓ＝ｎ＋(n-1)＋(n-2)＋………＋１（＋
――――――――――――――――――
２Ｓ＝(1+n)＋{2+(n-1)}＋{3+(n-2)}＋………＋(n+1)
　　＝(n+1)＋(n+1)＋(n+1)＋………＋(n+1)
　　＝（ｎ＋１）×ｎ
したがって、
　　ｎ（ｎ＋１）
Ｓ＝――――――
　　　　２

証明終了