問１

｛ｘ＋２ｙ＝３
｛ａｘ＋５ｙ＝７
連立して、
（２ａ－５）ｙ＝３ａ－７
\(y=\frac{3a-7}{2a-5}\)
NAMO_EQN__ 160 1 y=\frac{3a-7}{2a-5}
したがって、
\(x+2\cdot \frac{3a-7}{2a-5}=3\)
NAMO_EQN__ 160 1 x+2\cdot \frac{3a-7}{2a-5}=3
\(x=\frac{1}{5-2a}\)
NAMO_EQN__ 160 1 x=\frac{1}{5-2a}
２直線の交点の座標は、
\(P(\frac{1}{5-2a},\frac{3a-7}{2a-5})\)
NAMO_EQN__ 160 1 P(\frac{1}{5-2a},\frac{3a-7}{2a-5})
２点（１，０）、（０，１）を通る直線は、ｘ＋ｙ＝１より、代入して、
\(\frac{1}{5-2a}+\frac{3a-7}{2a-5}=1\)
NAMO_EQN__ 160 1 \frac{1}{5-2a}+\frac{3a-7}{2a-5}=1
∴ａ＝３………（答）
問２
原点Ｏから、問題の２直線Ｌ、Ｍに垂直な直線を下ろした足をＰ、Ｑとする。
Ｌの傾きをａとすると、ｙ－３＝ａ（ｘ＋１）より、
ｙ－ａｘ－（ａ＋３）＝０
原点からの距離は、公式より、
\(OP=\frac{\vert -(a+3)\vert }{\sqrt{1+a^{2}}}\)
NAMO_EQN__ 160 1 OP=\frac{\vert -(a+3)\vert }{\sqrt{1+a^{2}}}
同様にして、
Ｍの傾きをｂとすると、
\(OQ=\frac{\vert -(b+3)\vert }{\sqrt{1+b^{2}}}\)
NAMO_EQN__ 160 1 OQ=\frac{\vert -(b+3)\vert }{\sqrt{1+b^{2}}}
ＯＰ＝ＯＱより、
\(\frac{\vert -(a+3)\vert }{\sqrt{1+a^{2}}}=\frac{\vert -(b+3)\vert }{\sqrt{1+b^{2}}}\)
NAMO_EQN__ 160 1 \frac{\vert -(a+3)\vert }{\sqrt{1+a^{2}}}=\frac{\vert -(b+3)\vert }{\sqrt{1+b^{2}}}
直線ＬとＭは垂直だから、ａ×ｂ＝－１
上の計算をすると、
\(\frac{12}{a}+\frac{8}{a^{2}}-8a^{2}+12a=0\)
NAMO_EQN__ 160 1 \frac{12}{a}+\frac{8}{a^{2}}-8a^{2}+12a=0
\(4(a+\frac{1}{a})(3-2a+\frac{2}{a})=0\)
NAMO_EQN__ 160 1 4(a+\frac{1}{a})(3-2a+\frac{2}{a})=0
\(a+\frac{1}{a}\neq 0\)
NAMO_EQN__ 160 1 a+\frac{1}{a}\neq 0
より、
\(3-2a+\frac{2}{a}=0\)
NAMO_EQN__ 160 1 3-2a+\frac{2}{a}=0
\(2a^{2}-3a-2=0\)
NAMO_EQN__ 160 1 2a^{2}-3a-2=0
（２ａ＋１）（ａ－２）＝０
\(a=-\frac{1}{2},2\)
NAMO_EQN__ 160 1 a=-\frac{1}{2},2
したがって、
２直線Ｌ、Ｍの方程式は、
｛ｙ＝２ｘ＋５
｛
\(y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)
NAMO_EQN__ 160 1 y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}
………（答）