問１

\(2a_{n+1}=3a_{n}+1\) , \(a_{1}=1\)

両辺に２を加えて、

\(2a_{n+1}+2=3a_{n}+3\)

\(2(a_{n+1}+1)=3(a_{n}+1)\)

\(a_{n+1}+1=\frac{3}{2}(a_{n}+1)\)

\(=(\frac{3}{2})^{n}(a_{1}+1)\)

\(=(\frac{3}{2})^{n}\cdot 2\)

∴ \(a_{n+1}=2\cdot \left(\)

したがって、一般項（第ｎ項） \(a_{n}=2\cdot \left(\) 　………（答）

問２

問題が少し間違っています。以下の証明を、数学的帰納法でやってみましょう。

\(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots \cdots \cdots +n^{3}=\frac{1}{4}n^{2}\left(\)

①ｎ＝１のとき

　　　左辺 \(=1^{3}=1\)

　　　右辺 \(=\frac{1}{4}\cdot 1^{2}\cdot 2^{2}=\frac{4}{4}=1\)

∴左辺＝右辺

②ｎ＝ｋのとき、

　　　 \(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots \cdots \cdots +k^{3}=\frac{1}{4}k^{2}\left(\) が成り立つと仮定すると、

　　　左辺＝ \(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots \cdots \cdots +k^{3}+(k+1)^{3}=\frac{1}{4}k^{2}\left(\)

＝ \(\frac{1}{4}(k+1)^{2}\{ k^{2}+4(k+1)\}\)

＝ \(\frac{1}{4}(k+1)^{2}(k+2)^{2}\)

＝右辺

したがって、①と②より、すべての自然数ｎにおいて、与式が成り立つ。