「積分」 - 質問＜７２４＞

質問＜７２４＞

「「積分」」

日付２００１／１２／８

質問者３年１０組１２番

f(x)を周期１の周期関数とする。
すなわち、ｆ(x＋1)＝ｆ(x)（－∞＜ｘ＜∞）とする。ａを実数とし、
　　　1　
ｐ＝∫　\(e^{a}\)xｆ(x)dxとするとき、次の問いに答えよ。
　　　0
　　　　　　　　　　　　　ｎ＋1
(1)ｎを自然数とするとき、∫　　ｅ^axｆ(x)dxをｐを用い
　　　　　　　　　　　　　ｎ　
て表せ。
　　　　　　　　　　　　　ｎ
(2)ｎを自然数とするとき、∫　\(e^{a}\)xｆ(x)dxをｐを用いて表せ。
　　　　　　　　　　　　　０

(3)周期１の周期関数ｆ(x)が０≦ｘ≦１の範囲で
ｆ(x)＝－│x－\(\frac{１}{２}\)│＋\(\frac{３}{２}\)であるとき、
　　　ｎ
ｌｉｍ∫ｅ^-xｆ(x)dxを求めよ。(H.11北海道大・理系）
ｎ→∞０　　　　　　　　　　　　　　
以上です。お願いします

お返事（武田）

日付２００１／１２／２６

回答者 hoshino

(1)
t = x - n と置く。
∫_n^(n+1) e^(ax) f(x) dx
= ∫_\(0^{1}\) e^(a(t + n)) f(t + n) dt
= e^(an) ∫_\(0^{1}\) e^(at) f(t) dt … 周期性による。
= e^(an) p.

(2)
∫_\(0^{n}\) e^(ax) f(x) dx
=Σ_(k = 0)^(n-1)∫_k^(k+1) e^(ax) f(x) dx
= Σ_(k = 0)^(n-1) pe^(ak).
= p(1 - e^(an))/(1-\(e^{a}\))

(3) は計算が面倒なので p を求めて, a = -1 を用いれば
無限等比級数になって計算できるということで (^_^;;