微分で関数の最大値、最小値を求める問題で、
例えば
ｆ（ｘ）＝３ｘ③－ｋ②ｘ＋２の０≦ｘ≦１における最大値、最小値を
次の場合について求めよ。
（1）ｋ＝０ （2）０＜ｋ＜\(\sqrt{\quad}\)3 （3）ｋ＝3 （4）\(\sqrt{\quad}\)3＜ｋ＜3
（5）ｋ＝3 （6）3＜ｋ
という問題があるのですが、どうしてそういう場合分けになるのかが
わかりません。
学校の数学の先生はこの場合分けは必ずしもこのように細かく分けなく
てもできると言っていて、この問題にはこうやってヒント的に分け方が
書いてあるけれども模試などに出る場合、本来場合分けは自分でやるべ
きことなのでこの問題はこのヒントに頼らないで自分で場合分けをして
やりなさいと言ってました。
でも微分の最大値最小値の問題の場合分けの考え方がよくわかりません。
例えばこの問題を自分なりの場合分けでやるとしたらもっと端的な分け
方になりますか？
教えてください。
\(k^{2}\) なので、ｋ≧０として考える。（ｋ＜０のときは、左右対称とすればよい。）
\(y=3x^{3}-k^{2}x+2\) を微分して、
\(y^{\prime }=9x^{2}-k^{2}=(3x-k)(3x+k)\)
ｙ′＝０より、 \(x=\pm \frac{k}{3}\)
\(x^{3}\) の係数３と、ｋ≧０より、右側に極小がある。
問題はこの場所が、範囲０≦ｘ≦１とどういう関係にあるかである。ここに場合分けができる。
（１） \(1\leq \frac{k}{3}\) の場合（ｋ≧３）
ｘ＝０のとき、最大値ｙ＝２
ｘ＝１のとき、最小値ｙ＝５－ｋ^2
（２） \(0\leq \frac{k}{3}<1\) の場合（３＞ｋ≧０）
①ｆ（０）＜ｆ（１）の場合
２＜５－ｋ^2 より、
\(k^{2}-3<0\)
ｋ≧０より、 \(0\leq k<\sqrt{3}\)
ｘ＝１のとき、最大値 \(y=5-k^{2}\)
\(x=\frac{k}{3}\) のとき、最小値 \(f(\frac{k}{3})=\frac{2}{9}(9-k^{3})\)
②ｆ（０）＝ｆ（１）の場合
\(k=\sqrt{3}\) のとき、
ｘ＝０，１のとき、最大値ｙ＝２
\(x=\frac{k}{3}\) のとき、最小値 \(f(\frac{k}{3})=f(\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2}{9}(9-k^{3})=\frac{2}{9}(9-3\sqrt{3})=\frac{2}{3}(3-\sqrt{3})\)
③ｆ（０）＞ｆ（１）の場合
３＞ｋ≧０より、 \(\sqrt{3}<k<3\) のとき、
ｘ＝０のとき、最大値ｙ＝２
\(x=\frac{k}{3}\) のとき、最小値 \(f(\frac{k}{3})=\frac{2}{9}(9-k^{3})\)
したがって、４つの場合に分けて答えることになります。