問１
正比例関数ｆの定義は、「（ｙの変化量）／（ｘの変化量）＝一定」である。

\(\frac{f(1)}{1}=a\) （一定）より、ｆ（１）＝ａ

①任意の自然数ｎに対して、

　　　　 \(\frac{f(n)}{n}=a\)

ｆ（ｎ）＝ａｎ

②任意の有理数 \(\frac{n}{m}\) に対して、

　　　　 \(\frac{f(\frac{n}{m})}{\frac{n}{m}}=a\)

\(f(\frac{n}{m})=a\cdot \frac{n}{m}\)

③任意の実数ｘに対して、

　　　　 \(\frac{f(x)}{x}=a\)

ｘ≠０のとき、ｆ（ｘ）＝ａｘ

　　　　ｆ（ｘ）が連続関数より、

ｘ＝０のとき、 \(f(0)=\lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}ax=a\cdot 0=0\)

　　　　任意の実数ｘに対して、ｆ（ｘ）＝ａｘ

問２

和とスカラー倍が成り立つとき、

ｆ（ａｘ＋ｂｙ）＝ａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）

ｙ＝０とおくと、

ｆ（ａｘ＋ｂ・０）＝ａｆ（ｘ）＋ｂｆ（０）

ｆは連続だから、ｆ（０）＝０

ｆ（ａｘ）＝ａｆ（ｘ）

\(\frac{f(ax)}{ax}=\frac{af(x)}{ax}=\frac{f(x)}{x}\) だから、

\(\frac{f(x)}{x}=c\) 　（一定）

したがって、ｆ（ｘ）＝ｃｘという正比例関数となる。