問１

５，１１，１７，………

初項５、公差６より、一般項ａｎ＝５＋（ｎ－１）６＝６ｎ－１

等差数列の和の公式より、

\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)

\(S_{27}=\frac{27\{ 5+(6\cdot 27-1)\} }{2}=\frac{27\cdot 166}{2}=2241\) ………（答）

問２

1,０．５，０．２５，０．１２５，………

分数で表すと、

\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots \cdots \cdots\)

初項１、公比 \(\frac{1}{2}\) より、一般項 \(a_{n}=1\cdot (\frac{1}{2})^{n-1}=(\frac{1}{2})^{n-1}\)

等比数列の和の公式より、

\(S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\)

\(S_{n}=\frac{1\{ 1-(\frac{1}{2})^{n}\} }{1-\frac{1}{2}}=2\{ 1-(\frac{1}{2})^{n}\}\) ………（答）

問３

１・３・５、２・５・９、３・７・１３、４・９・１７、………

各項の１番目だけ取り出して、

１，２，３，４………より、一般項ｎ

２番目だけ取り出して、

３，５，７，９………より、一般項３＋（ｎ－１）２＝２ｎ＋１

３番目だけ取り出して、

５，９，１３，１７………より、一般項５＋（ｎ－１）４＝４ｎ＋１

したがって、

元の数列の一般項は、ａｎ＝ｎ（２ｎ＋１）（４ｎ＋１）

\(=8n^{3}+6n^{2}+n\)

初項から第ｎ項までの和は、Σの公式より、

\(\sum ^{n}_{k=1}a_{k}=\sum ^{n}_{k=1}(8k^{3}+6k^{2}+k)\)

\(=8\sum ^{n}_{k=1}k^{3}+6\sum ^{n}_{k=1}k^{2}+\sum ^{n}_{k=1}k\)

\(=8\cdot \{ \frac{n(n+1)}{2}\} ^{2}+6\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\)

\(=\frac{1}{2}n(n+1)(4n^{2}+4n+4n+2+1)\)

\(=\frac{1}{2}n(n+1)(4n^{2}+8n+3)=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)(2n+3)\) ………（答）