問１

\(y=\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}}\)

両辺に対数をとって、

\(\log y=\log \sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}}=\frac{1}{2}(\log \left|\)

両辺を微分して、

\(\frac{y\prime }{y}=\frac{1}{2}(\frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{2x}{x^{2}+1})\)

したがって、

\(y\prime =y(\frac{x^{3}+x-x^{3}+x}{x^{4}-1})=\frac{2x}{x^{4}-1}\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}}\) ………（答）

問２

\(\int ^{3}_{1}(x^{2}-5x+6)dx=\left[\)

\(=(9-\frac{45}{2}+18)-(\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+6)=\frac{2}{3}\) ………（答）

問３

\(\int ^{1}_{0}\frac{x}{x^{2}+1}dx\) より、

\(x^{2}+1=t\) とおくと、２ｘｄｘ＝ｄｔ

\(xdx=\frac{1}{2}dt\)

\(\frac{x\vert 0\to 1}{t\vert 1\to 2}\)

\(\int ^{1}_{0}\frac{x}{x^{2}+1}dx=\int ^{2}_{1}\frac{1}{2t}dt=\frac{1}{2}\int ^{2}_{1}\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\left[\)

\(=\frac{1}{2}(\log 2-\log 1)=\frac{1}{2}\log 2\) ………（答）