△ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝２、∠Ａ＝９０°とする。
辺ＢＣの延長上の点Ｃの側に、∠ＡＢＣ＝∠ＣＡＤとなるように
点Ｄをとる。
ただし、∠ＡＢＣ＜４５°とする。
（1）∠ＡＢＣ＝θとして、ＡＣとＡＤをθを用いて表せ。
（2）ＡＤ＝\(\sqrt{\quad}\)3ＡＣのとき、θの値を求めよ。
ＡＣ＝ＢＣsinθ＝２sinθ ………（答）
∠ＡＤＣ＝１８０°－（θ＋９０°＋θ）＝９０°－２θ
∠ＡＣＤ＝９０°＋θ
正弦定理より、
\(\frac{AD}{\sin (90^{\circ }+\theta )}=\frac{2\sin \theta }{\sin (90^{\circ }-2\theta )}\)
\(AD=\frac{2\sin \theta }{\cos 2\theta }\times \cos \theta =\frac{\sin 2\theta }{\cos 2\theta }=\tan 2\theta\) ………（答）
ＡＤ＝\(\sqrt{\quad}\)３ＡＣより、
\(\tan 2\theta =\sqrt{3}\cdot 2\sin \theta\)
\(\frac{2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }=2\sqrt{3}\sin \theta\)
\(\frac{1}{\cos \theta }=\sqrt{3}(1-\tan ^{2}\theta )\)
\(\cos \theta =\sqrt{3}(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )\)
\(\sqrt{3}(2\cos ^{2}\theta -1)=\cos \theta\)
２\(\sqrt{\quad}\)３ｃｏｓ2θ－ｃｏｓθ－\(\sqrt{\quad}\)３＝０
\((2\cos \theta -\sqrt{3})(\sqrt{3}\cos \theta +1)=0\)
∴ \(\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
０°＜θ＜４５°より、cosθ＞０
\(\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\)
したがって、
θ＝３０° ………（答）