質問＜７５１＞の解答です．
まず，接点を(t，－2\(t^{2}\)＋t＋1)とします．接線ｌは，
ｌ：y＝(－4t＋1)(x－t)－2\(t^{2}\)＋t＋1から，
ｌ：y＝(－4t＋1)x＋2\(t^{2}\)＋1
放物線y＝\(x^{2}\)との共有点のx座標は，次の方程式の２解です．
\(x^{2}\)＝(－4t＋1)x＋2\(t^{2}\)＋1
すなわち，
\(x^{2}\)－(－4t＋1)x－2\(t^{2}\)－1＝0 ・・・(＃)
ここで，判別式Dは明らかにＤ＜0なので，実数解を
α，β（α＜β）とすると，
囲まれる部分では，接線の方が上方にあるので，面積S(t)は，
S(t)＝∫(α→β)｛(－4t＋1)x＋2\(t^{2}\)＋1－\(x^{2}\)｝dx
S(t)＝－∫(α→β)(x－α)(x－β)dx
S(t)＝(\(\frac{1}{6}\))(β－α\()^{3}\)
(β－α\()^{3}\)＝｛(β－α\()^{2}\)｝^(\(\frac{3}{2}\))．
したがって，(β－α\()^{2}\)が最小のとき，面積も最小になります．
ここで，(＃)について，解と係数の関係：
｛　α＋β＝－4t＋1
｛　αβ＝－2\(t^{2}\)－1から，
(β－α\()^{2}\)＝(α＋β\()^{2}\)－4αβ
(β－α\()^{2}\)＝(－4t＋1\()^{2}\)－4(－2\(t^{2}\)－1)
　　　　 ＝24\(t^{2}\)－8t＋5
　　　　 ＝24(t－\(\frac{1}{6}\))＋\(\frac{13}{3}\)
よって，min　S(\(\frac{1}{6}\))＝(\(\frac{1}{6}\))(\(\frac{13}{3}\))^(\(\frac{3}{2}\))＝13\(\sqrt{\quad}\)\(\frac{39}{54}\)