質問＜７５３＞の解答です．
＞pは0以上の定数
これは自然数ということですね．
Σはfrom　m＝1　to　n　とします．
∑m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)＝n(n＋1)(n＋2)・・・(n＋p＋1)/(p＋2)
を示せばいいのですね．
証明はじめ＞＞
　m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)
＝｛m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)｝×[｛(m＋p＋1)－(m－1)｝/(p＋2)］
（(∵)うしろの［］の中は１です！）
＝［｛m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)(m＋p＋1)｝
　　－{(m－1)m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)｝］/(p＋2)
ここで，A[n]＝n(n＋1)(n＋2)・・・(n＋p＋1) とすると，
　m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)
＝｛A[m]－A[m－1]｝/(p＋2)
したがって，証明すべき式の左辺を(p＋2)倍しておくと，
　(p＋2)×∑m(m＋1)(m＋2)・・・(m＋p)
＝(A[1]－A[0])＋(A[2]－A[1])＋(A[3]－A[2])＋・・・
　　＋(A[n]－A[n－1])
＝A[n]
（(∵)A[0]＝0　）
よって，問題の式は証明されました．

ｄ３さんの証明は見事ですね。
私は「差分・和分」の本を読んでみました。
計算ができましたので、参考までお知らせします。

前提として、次の３つを紹介します。
①階乗関数として、 \(X^{(n)}=X(X-1)(X-2)\cdots (X-n+1)\)

②和分の公式　 \(\bigtriangleup ^{-1}X^{(n)}=\frac{X^{(n+1)}}{n+1}+C\)

③定和分の公式　 \(\sum ^{n}_{x=m}A(x)=\left[\)

与式の左辺＝

\(\sum ^{n}_{m=1}(\prod ^{m+p}_{k=m}k)=\sum ^{n}_{m=1}\{ m(m+1)(m+2)\cdots (m+p)\}\)

\(=1\cdot 2\cdot 3\cdots (1+p)+2\cdot 3\cdot 4\cdots (2+p)+\cdots +n(n+1)(n+2)\cdots (n+p)\)

\(=(1+p)^{(p+1)}+(2+p)^{(p+1)}+\cdots +(n+p)^{(p+1)}\)

\(=\sum ^{n}_{x=1}(x+p)^{(p+1)}=\left[\)

\(=\left[\)

\(=\frac{(n+p+1)^{(p+2)}}{p+2}\) （∵ \(\frac{(1+p)^{(p+2)}}{p+2}=\frac{0\cdot 1\cdot 2\cdots (1+p)}{p+2}=0\) より）

\(=\frac{(n+p+1)(n+p)(n+p-1)\cdots n}{p+2}\)

\(=(\prod ^{n+p+1}_{k=n}k)\slash (p+2)\) ＝右辺