（Ⅰ）

問１

\(\frac{mn}{m+18}=l+\frac{1}{3}\)

変形して、

\(3mn=(3l+1)(m+18)\)

\((3n-3l-1)m=54l+18\)

右辺は３の倍数だから、左辺も３の倍数でなければならない。

しかし、 \((3n-3l-1)\) は、３の倍数でないので、

ｍは３の倍数でなければならない。

問２

右辺の \(54l+18\) は、 \(9(6l+2)\) となるが、

\((3n-3l-1)\) が３の倍数ではないので、

ｍは最低９を因数として持つ。

ｍの最小値は、９である。………（答）

問３

ア） \(m=9(6l+2)\) のとき、

　　　 \(3n-3l-1=1\)

\(n=l+\frac{2}{3}\)

整数でなければならないから、このときのｎの値はない。

イ）ｍ＝９のとき、

　　　 \(3n-3l-1=6l+2\)

\(n=3l+1\)

ｎが最小になるのは、 \(l\) が最小のときだから、

　　　ｎ＝４………（答）

（Ⅱ）

１／ｍ＋１／ｎ＜１／３ を変形して、

３（ｍ＋ｎ）＜ｍｎ

（３－ｎ）ｍ＜－３ｎ

ア）３－ｎ＞０のとき、

　　　　 \(m<\frac{-3n}{3-n}\)

右辺は負の数だから、ｍも負の数になる。該当するｍはない。

イ）３－ｎ＝０のとき、

　　　　ｍ＜０となるから、正の整数ｍはなし。

ウ）３－ｎ＜０のとき、

　　　　 \(m>\frac{-3n}{3-n}\)

　　　　 \(m>\frac{3n}{n-3}\)

　　　　ｎ＝４のとき、ｍ＞１２より、ｍ＝１３

　　　　　　　　　 \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{13}+\frac{1}{4}=\frac{17}{52}\doteq 0.326\)

ｎ＝５のとき、ｍ＞７．５より、ｍ＝８

　　　　　　　　　 \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{8}+\frac{1}{5}=\frac{13}{40}\doteq 0.325\)

ｎ＝６のとき、ｍ＞６より、ｍ＝７

　　　　　　　　　 \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{7}+\frac{1}{6}=\frac{13}{42}\doteq 0.309\)

　　　　したがって、最大値はｎ＝４、ｍ＝１３のとき、 \(\frac{17}{52}\) である。………（答）