未解決問題に移しました。
誰かアドバイスをください。
CharlieBrownさんからアドバイスが届きました。感謝！！

計算を省略して、要点だけ記します。
\(t^{2}\)-1
a(t) = -------
2t
t dx
b(t) = ∫ ---- = logt
1 x
となるので、問題は、
b(t) 2tlogt
c(t) = ------ = --------
a(t) \(t^{2}\)-1

が、t>1で減少すること、
つまり、微分c'(t)がt>1で常に負であることを示せばよいわけです。

-2(\(t^{2}\)+1)logt-2\(t^{2}\)+2
c'(t) = -----------------------
(\(t^{2}\)-1\()^{2}\)

ですから、この式がt>1で負になるかどうかを考察します。
分母は常に正ですから、分子の正負がそのままc'(t)の正負と一致します。
そこで、分子を改めてd(t)とおき、その正負を調べます。

d(t) = -2(\(t^{2}\)+1)logt-2\(t^{2}\)+2
を微分した
2
d'(t) = -4tlogt -6t - ---
t

は明らかにt>1で負であるから
d(t)はt>1で減少関数で、d(1) = 0なので、
確かに関数d(t)はt>1で常に負です。

よって関数c(t)はt>1でtの減少関数であることが示されました。