はじめまして
早速ですが、楕円体に近似した三次元実験データに、楕円体を
フィッティングさせようとしております。
通常の楕円体の式である(\(\frac{x}{a}\)\()^{2}\)+(\(\frac{y}{b}\)\()^{2}\)+(\(\frac{z}{c}\)\()^{2}\)=1をx軸、y軸、z軸に
回転変換後に平行移動させた結果を、実験データにフィットするように
最小二乗法を使用して展開したのですが、項数が多すぎて計算が不可能
でした。
何かもっと簡単な方法で求める方法はないでしょうか？
もう一つの手法として、二次曲面の一般式である
f(x,y,z)=\(x^{2}\)+a*\(y^{2}\)+b*\(z^{2}\)+c*y*z+d*z*x+e*x*y+f*x+g*y+h*z+i=0
をそれぞれ偏微分しての最小二乗法で係数を算出したのですが、
値が楕円体ではなく、一葉双曲面になってしまいます。
これを楕円体に矯正する方法はないものでしょうか？
実験データを(x1,y1,z1)...(xn,yn,zn)とする。
平均ベクトルを(mx,my,mz)とする。
(Xi,Yi,Zi)=(xi,yi,zi)-(mx,my,mz)とする。（平行移動）
共分散行列を求める。
V=(vij),(i=1,2,3. j=1,2,3)
v11=Σ(Xi\()^{2}\)/n,v12=Σ(XiYj)/\(n^{2}\),v13=Σ(XiZj)/\(n^{2}\),...,
v33=Σ(Zi\()^{2}\)/nとする。
Vは対称行列になる。
Vの固有値（実数になる）をλ1,λ2,λ3とし、
その固有ベクトルをv1,v2,v3とする。
固有値がすべて正の数ならば、v1,v2,v3 （直交している）を軸とする
回転楕円体が最良の近似になると思います。
３次元の正規分布で近似すると、
その確率密度関数は、
p(a,b,c)=(\(\sqrt{\quad}\)(2πλ1λ2λ3))^(-1)*exp(-\(\frac{1}{2}\)(\(a^{2}\)/λ1+\(b^{2}\)/λ2+\(c^{2}\)/λ3))
となる。
ここで(a,b,c)は(x,y,z)を回転させた座標である。
Vを対角行列に変形するための直交行列Tを使う。
気になったので書きます。
juinさんの回答で，共分散行列を使った方法が
書かれていますが，これは楕円状に分布している
点の直交軸を求める場合だと思います。
楕円体の表面データが多く，偏りが少ない場合，
（分布の中心が楕円体の中心と一致するとき）は
正解に近づきます。
偏りが無視できないぐらいデータが少ない場合は，
この方法は使えません。