こんにちは。
「関数 ｆ(x) = \(x^{3}\)+a\(x^{2}\)+bx+1 (a,bは実数の定数）とすると
き、f(x)がｘ＝１で極値を持つ定数a,bの条件を求めよ。」と
いう問題の解説で、
ｆ｀（１）の符号がｘ＝１の前後で変化するために、
ｆ｀（ｘ）＝０がｘ＝１以外の解を持てばよい
となっているのですが、どういうことなのでしょうか。
教えて下さい。よろしくお願いします。
f(x)＝ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋１がｘ＝１で極値を持つことから、
f'(x)＝３ｘ2＋２ａｘ＋ｂ
f'(1)＝３＋２ａ＋ｂ＝０
∴ｂ＝－２ａ－３……①
また、ｘ＝１で極値を持つことから、例えば、
| ｘ | ……… | １ | ……… |
|---|---|---|---|
| f'(x) | － | ０ | ＋ |
と言う具合に、f'(x)の符号はｘ＝１の左と右では逆の符号と
なる。
f'(x)＝３ｘ2＋２ａｘ＋ｂは二次関数になるので、
グラフを書くと、ｘ＝１の前後でグラフはｘ軸の下と上になる。
したがって、グラフはｘ軸と交わるので、
方程式３ｘ2＋２ａｘ＋ｂ＝０は２つの異なる
実数解をもつ。判別式Ｄ／４＝ａ2－３ｂ＞０
∴ａ2－３ｂ＞０……②
①と②より、
ａ2－３（－２ａ－３）＞０
ａ2＋６ａ＋９＞０
（ａ＋３）2＞０
∴ａ≠－３のすべての実数
したがって、実数ａの条件はａ≠－３
実数ｂの条件はｂ＝－２ａ－３